Каково расстояние от точки, из которой проведена наклонная, до плоскости α? Точка находится на расстоянии ?

Название: Расстояние от точки до плоскости

Объяснение: Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, мы можем использовать следующий подход. Допустим, у нас есть точка P, через которую проходит нормаль к плоскости α. Затем мы рисуем перпендикуляр от точки P к плоскости α и находим точку Q на плоскости α, через которую проходит этот перпендикуляр. Расстояние от точки P до плоскости α равно длине отрезка PQ.

Если у нас есть уравнение плоскости α в виде Ax + By + Cz + D = 0, а координаты точки P равны (x0, y0, z0), мы можем использовать следующую формулу для нахождения расстояния:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Где d - расстояние от точки P до плоскости α.

Пример использования: Допустим, у нас есть плоскость α с уравнением 2x + 3y - z + 4 = 0, и точка P с координатами (1, -2, 3). Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости α, мы можем использовать формулу:

d = |2(1) + 3(-2) - (3) + 4| / sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2)

d = |2 - 6 - 3 + 4| / sqrt(4 + 9 + 1)

d = 3 / sqrt(14)

Таким образом, расстояние от точки P до плоскости α составляет 3 / sqrt(14) единиц.

Совет: Для лучшего понимания этой концепции, рекомендуется изучить векторы и их свойства. Это поможет вам лучше представить себе перпендикуляр, проведенный от точки до плоскости. Также полезно визуализировать проблему и нарисовать плоскость α, точку P и перпендикуляр PQ. Это позволит лучше представить себе геометрическое свойство расстояния от точки до плоскости.

Задание для закрепления: У нас есть плоскость β с уравнением 3x - 2y + 5z - 6 = 0. Найти расстояние от точки P с координатами (-1, 2, 4) до плоскости β.