Каково отношение площадей этих треугольников, если отношение их сторон равно

Тема урока: Отношение площадей треугольников с равным отношением сторон

Пояснение: Чтобы найти отношение площадей двух треугольников с заданным отношением их сторон, мы должны понять, как площадь треугольника зависит от его сторон.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона: S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), где а, b и c - стороны треугольника, а p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2).

Пусть отношение сторон двух треугольников равно m:n, то есть a:b = m:n. Мы также можем записать это в виде a = mx и b = nx, где x - общий множитель.

Подставив эти значения в формулу Герона для площади треугольника, мы получим:

S1 = √(p1(p1 - mx)(p1 - nx)(p1 - c1)) и
S2 = √(p2(p2 - my)(p2 - ny)(p2 - c2)).

Так как отношение сторон треугольников равно m:n, это означает, что c2 = mc1 и p2 = mp1.

Мы можем сократить эти выражения и получить:

S1 = √(m^2 * p1(p1 - x)(p1 - nx)(p1 - mc1)) и
S2 = √(n^2 * p1(p1 - y)(p1 - ny)(p1 - c1)).

Затем, чтобы найти отношение площадей треугольников, мы делим площадь первого треугольника на площадь второго треугольника:

Отношение площадей S1/S2 = √(m^2 * p1(p1 - x)(p1 - nx)(p1 - mc1)) / √(n^2 * p1(p1 - y)(p1 - ny)(p1 - c1)).
После сокращения, получим отношение площадей:
S1/S2 = m/n * √[(p1 - x)(p1 - nx)(p1 - mc1)] / √[(p1 - y)(p1 - ny)(p1 - mc1)].

Например:
Задача: Найдите отношение площадей треугольников, если отношение их сторон равно 3:5.

Решение:
Мы знаем, что a:b = 3:5, поэтому a = 3x и b = 5x, где x - общий множитель.

Подставим эти значения в формулу для отношения площадей:
Отношение площадей S1/S2 = (3/5) * √[(p1 - x)(p1 - 3x)(p1 - 5c1)] / √[(p1 - y)(p1 - 5y)(p1 - 3c1)].

Совет: Чтобы лучше понять отношение площадей треугольников с равным отношением сторон, рекомендуется использовать конкретные числа вместо переменных. Это поможет получить более ясное представление о том, как отношение сторон влияет на отношение площадей.

Дополнительное задание: Найдите отношение площадей двух треугольников, если отношение их сторон равно 4:7.