Какова площадь поверхности шара, который вписан в конус с образующей 7,5 см и высотой 6 см? Округли ответ до сотых

Тема: Площадь поверхности шара, вписанного в конус

Разъяснение: Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать два основных формулы: формулу для площади поверхности конуса и формулу для площади поверхности шара.

Площадь поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[S_{к}= \pi r_{к} (r_{к} + l_{к})\]

Где \(S_{к}\) - площадь поверхности конуса, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3,14, \(r_{к}\) - радиус основания конуса и \(l_{к}\) - образующая конуса.

В данной задаче нам известна образующая конуса (\(l_{к}=7,5 \, \text{см}\)) и его высота (\(h_{к}=6 \, \text{см}\)). Найдем радиус основания конуса \(r_{к}\) с помощью теоремы Пифагора:

\[r_{к}=\sqrt{l_{к}^2 - h_{к}^2}\]

Зная радиус \(r_{к}\), мы можем использовать формулу для площади поверхности шара:

\[S_{ш}=4\pi r_{ш}^2\]

Где \(S_{ш}\) - площадь поверхности шара, \(r_{ш}\) - радиус шара.

Радиус шара и радиус основания конуса равны друг другу (\(r_{ш}=r_{к}\)). Поэтому площадь поверхности шара будет равна:

\[S_{ш}=4\pi r_{к}^2\]

Теперь подставим значения и рассчитаем:

1. Рассчитаем \(r_{к}\):

\[r_{к}=\sqrt{l_{к}^2 - h_{к}^2}=\sqrt{(7,5 \, \text{см})^2 - (6 \, \text{см})^2}\]

\[r_{к}=\sqrt{56,25 - 36}=\sqrt{20,25}=4,5 \, \text{см}\]

2. Рассчитаем \(S_{ш}\):

\[S_{ш}=4\pi r_{к}^2=4\pi (4,5 \, \text{см})^2\]

\[S_{ш}=4 \cdot 3,14 \cdot (4,5)^2 \approx 254 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности шара, который вписан в конус с образующей 7,5 см и высотой 6 см, округляется до сотых и составляет примерно 254,00 см².

Совет: При решении этой задачи важно понимать теорию площади поверхности шара и конуса. Постоянно обращайте внимание на значения, которые вам даются в задаче и точно применяйте соответствующие формулы. Также будьте аккуратны при округлении ответа до сотых, используйте правила округления в зависимости от значения второго десятичного знака.

Упражнение: Найдите площадь поверхности шара, который вписан в прямоугольный параллелепипед с длиной, шириной и высотой, равными 12 см, 8 см и 6 см соответственно. Ответ округлите до сотых.