Какова площадь основания конуса, если он пересечен плоскостью, перпендикулярной высоте конуса и делит ее на отрезки

Конус: площадь основания при пересечении плоскостью

Пояснение: Чтобы найти площадь основания конуса при пересечении плоскостью, которая перпендикулярна высоте конуса и делит ее на отрезки в пропорции 1:4 от вершины, мы должны использовать свойства подобных треугольников.

1. Представьте плоскость, перпендикулярную высоте конуса и проходящую через его вершину. Обозначьте эту плоскость буквой P.

2. Выделите треугольник, образованный плоскостью P и линией, которая делит высоту конуса на отрезки в пропорции 1:4. Обозначьте этот треугольник буквой ΔABC.

3. Поскольку отношение отрезков высоты в треугольнике ΔABC равно 1:4, то можно сказать, что отношение площадей треугольников ΔABC и ΔAPE (где E - точка пересечения плоскости P и основания конуса) также равно 1:4.

4. Используя свойство подобия треугольников ΔABC и ΔAPE, мы можем определить, что отношение длин сторон этих треугольников равно корню из отношения их площадей. То есть AB:AE = √(S(ΔABC):S(ΔAPE)), где S(ΔABC) и S(ΔAPE) - площади треугольников ΔABC и ΔAPE соответственно.

5. Поскольку высота конуса и линия, пересекающая его, образуют прямой угол, треугольники ΔABC и ΔAPE являются прямоугольными.

6. Мы можем записать соотношение отношения сторон треугольников ΔABC и ΔAPE: AB:AE = BC:PE = AC:AP.

7. Поскольку линия, пересекающая конус, делит его высоту в пропорции 1:4, то отношение AC:AP = 1:4.

8. Получаем AB:AE = BC:PE = 1:4.

9. Теперь, зная, что длина AB равна радиусу основания конуса, искомую площадь основания можно найти, используя формулу площади круга: S = πr², где r - радиус основания конуса.

Дополнительный материал: Пусть известно, что радиус основания конуса равен 5 см. Найдите площадь основания, если конус пересечен плоскостью, перпендикулярной высоте и делит ее на отрезки в пропорции 1:4 от вершины.

Решение: Радиус основания конуса (r) = 5 см.

Отношение длин сторон треугольников ΔABC и ΔAPE = AB:AE = 1:4.

Так как AB - радиус основания конуса (r), соответствует 1 см, то AE = 4 см.

Теперь мы можем использовать формулу площади круга для нахождения площади основания:

S = πr²,

где r - радиус, уже известен: 5 см.

Таким образом, площадь основания конуса составит:

S = π × 5² = 25π см².

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить эту тему, рекомендуется изучить свойства подобных треугольников и формулы для нахождения площади основания круга.

Задача на проверку: Радиус основания конуса равен 8 см. Конус пересечен плоскостью, перпендикулярной высоте и делит ее на отрезки в пропорции 1:3 от вершины. Найдите площадь основания конуса.