Длина отрезка окружности, образованного касательными
Какова длина отрезка окружности, образованного касательными, проведенными из точки А к окружности с центром
Какова длина отрезка окружности, образованного касательными, проведенными из точки А к окружности с центром О, при условии, что их длина равна 18 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120 градусов?
06.12.2023 08:09
ИИ помощник в учёбе
Написать свой ответ:
Разъяснение: Чтобы решить эту задачу, давайте использовать некоторые основные свойства окружностей и треугольников.
Предположим, что точки касания касательных с окружностью обозначены как B и C, а точка A - точка, из которой проведены касательные. Длины касательных обозначены как AB и AC соответственно.
У нас также есть данное, что длины касательных AB и AC равны 18 см, а угол BAC равен 120 градусов.
Поскольку OB и OC - это радиусы окружности, и они проведены к точкам касания, то OB и OC равны между собой и являются радиусами окружности.
Также стоит отметить, что в равнобедренном треугольнике OAB (так как OB = OA) и OAC (так как OC = OA), углы OBA и OCA равны между собой.
Сумма углов OBA и OCA составляет 180 градусов (из-за линии AO, соединяющей внутренние углы), и мы знаем, что OBA = OCA. Из этого следует, что OBA = OCA = 90 градусов.
Таким образом, треугольники OAB и OAC являются прямоугольными треугольниками.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка AC.
В треугольнике OAC:
OC² = OA² + AC²
Поскольку OC = OA (оба равны радиусу окружности), мы можем записать:
AC² = OC² - OA²
Дальше, мы знаем значения OC и OA:
AC² = (18 см)² - R²
Так как R - это радиус окружности, который у нас неизвестен, нам нужно найти его.
Для этого мы можем использовать триугольник OAB и теорему косинусов:
AB² = OA² + OB² - 2OA·OB·cos(BAO)
Нам также известны значения AB, OA (равно R) и угла BAO (равен 90 градусов - 120 градусов = 30 градусов):
(18 см)² = R² + R² - 2R²·cos(30 градусов)
Решив это уравнение, мы можем найти значения R и затем найти значение AC.
Например: Вычислите длину отрезка AC, образующего окружность, при условии, что длины касательных AB и AC равны 18 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120 градусов.
Совет: Перед решением этой задачи будет полезно вспомнить свойства окружностей, треугольников и теорему Пифагора.
Закрепляющее упражнение: При известном радиусе окружности равном 5 см и угле, образованном двумя касательными точками (которые образуют угол 60 градусов), вычислите длину отрезка, образованного касательными.