Какова длина катетов прямоугольного треугольника АВС, если гипотенуза АВ равна 25, а отношение AC:BC равно 3:4?

Тема урока: Решение прямоугольных треугольников

Инструкция: Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора и пропорциональность сторон прямоугольного треугольника.

1. Введем обозначения: пусть AC и BC - длины катетов треугольника АВС, а гипотенуза AB равна 25.
2. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: AC^2 + BC^2 = AB^2.
3. Подставим известные значения: AC^2 + BC^2 = 25^2.
4. Также по условию задачи известно отношение длин сторон: AC:BC = 3:4.
5. Мы можем использовать данное отношение для нахождения значений длин катетов, подставив BC = 4x и AC = 3x, где x - некоторое число.
6. Подставим значения в уравнение из пункта 3: (3x)^2 + (4x)^2 = 625.
7. Решим полученное уравнение: 9x^2 + 16x^2 = 625.
8. Сложим слагаемые: 25x^2 = 625.
9. Разделим обе части уравнения на 25: x^2 = 25.
10. Извлечем корень из обеих частей: x = 5.
11. Подставим найденное значение x в выражения AC = 3x и BC = 4x: AC = 15 и BC = 20.

Например:
Дано: гипотенуза AB = 25, AC:BC = 3:4.

Чтобы найти длину катетов AC и BC, воспользуемся теоремой Пифагора и пропорциональностью сторон:
AC^2 + BC^2 = AB^2,
AC:BC = 3:4.

Решение:
1. Подставим известные значения в уравнение: AC^2 + BC^2 = 25^2.
2. Воспользуемся пропорцией AC:BC = 3:4, заменив AC на 3x и BC на 4x.
3. Подставим значения в уравнение: (3x)^2 + (4x)^2 = 625.
4. Решим уравнение: 9x^2 + 16x^2 = 625.
5. Просуммируем слагаемые: 25x^2 = 625.
6. Разделим обе части на 25: x^2 = 25.
7. Извлечем корень: x = 5.
8. Подставим найденное значение x: AC = 3 * 5 = 15 и BC = 4 * 5 = 20.

Совет: При решении задач по прямоугольным треугольникам полезно знать теорему Пифагора и пропорциональные отношения сторон.

Практика: Найдите длину катетов треугольника АВС, если гипотенуза АВ равна 17, а отношение AC:BC равно 5:12.