Каков синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра 1 ед.изм., если

Суть вопроса: Синус угла между прямой и плоскостью в кубе

Инструкция: Для решения данной задачи мы можем использовать геометрические свойства куба. Сначала определим положение точки M на ребре A1D1. Условие A1M:MD1=1:3 означает, что расстояние от точки M до вершины A1 составляет 1/4 длины ребра куба, а расстояние от точки M до вершины D1 составляет 3/4 длины ребра куба.

Поскольку A1 и D1 являются последовательными вершинами куба, прямая AM будет проходить через ребро A1D1. Также известно, что плоскость (BB1D1D) является диагональной плоскостью куба.

Чтобы найти синус угла ϕ между прямой AM и плоскостью (BB1D1D), мы можем воспользоваться определением синуса угла, которое гласит: синϕ = противолежащий катет / гипотенуза. В нашем случае, противолежащий катет будет равен расстоянию от точки M до плоскости (BB1D1D), а гипотенузой будет длина ребра куба.

Так как точка M находится на ребре A1D1, то противолежащий катет равен 1/4 длины ребра куба, и гипотенуза равна длине ребра куба.

Таким образом, синус угла ϕ будет равен: синϕ = (1/4) / 1 = 1/4 = 0.25.

Например: Найдите синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра 1 ед.изм., если точка M находится на ребре A1D1 так, что A1M:MD1=1:3.

Совет: Для лучшего понимания геометрических задач следует хорошо запомнить определения и свойства геометрических фигур. Также полезно рисовать схемы и диаграммы для наглядной визуализации задачи и процесса решения.

Задача для проверки: В кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра 2 ед.изм. точка M находится на ребре A1D1 так, что A1M:MD1=2:1. Найдите синус угла между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D).

Тема вопроса: Синус угла между прямой и плоскостью в кубе

Объяснение: Чтобы найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1, сначала рассмотрим треугольник A1MD1, где A1M:MD1 = 1:3.

Заметим, что AM - это диагональ куба, а BB1D1D - диагональная плоскость. Поскольку каждая грань куба является прямоугольным треугольником, длина диагонали плоскости равна √2 стороны куба.

Теперь посмотрим на треугольник AMB, где AM является основанием, а MB - высотой. Из соотношения в треугольнике A1MD1, мы знаем, что A1M = MD1 / 3. Также, поскольку A1MB и MB1B являются сходными треугольниками, мы можем утверждать, что MB = A1M / √2.

Теперь мы можем найти синус угла ϕ, используя определение синуса в прямоугольном треугольнике AMB. Синϕ = MB / AM = (A1M / √2) / AM = (MD1 / 3√2) / (√3 / 2). Получаем синус угла ϕ равным -√2 / 3.

Пример: Найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1, если точка M находится на ребре A1D1 так, что A1M:MD1=1:3.

Совет: Для понимания данной задачи, полезно быть знакомыми с понятиями треугольников, прямоугольных треугольников, соотношениями сторон и геометрическими формулами, связанными с кубом.

Дополнительное задание: В кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра 2 ед.изм. точка M расположена на ребре B1C1 так, что B1M:MC1=1:4. Найдите синус угла между прямой BM и плоскостью (A1B1C1D1).