14. Верифицировать, что плоскость AFC параллельна линии B1D в параллелепипеде ABCDA,B1C1D1

Содержание: Параллельность плоскости и линии в параллелепипеде

Инструкция: Чтобы установить, что плоскость AFC параллельна линии B1D в параллелепипеде ABCDA, B1C1D1, мы должны проанализировать направляющие векторы обеих фигур.

Направляющий вектор линии B1D можно найти из координат векторов B1 и D. Обозначим данный вектор как v1.

Направляющий вектор плоскости AFC можно получить из координат точек A, F и C (взяв два вектора, например, AC и AF, и найдя их векторное произведение). Обозначим данный вектор как v2.

Если векторы v1 и v2 коллинеарны (имеют одно и то же направление или противоположное), то плоскость AFC будет параллельна линии B1D.

Доп. материал:
Заданы координаты точек B1(1, 2, 3), D(4, 5, 6), A(7, 8, 9), F(10, 11, 12) и C(13, 14, 15). Найдем направляющий вектор линии B1D и направляющий вектор плоскости AFC. Проверим их коллинеарность, чтобы установить параллельность плоскости и линии.

Решение:
1. Направляющий вектор линии B1D:
v1 = D - B1 = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)
2. Направляющий вектор плоскости AFC:
AC = C - A = (13, 14, 15) - (7, 8, 9) = (6, 6, 6)
AF = F - A = (10, 11, 12) - (7, 8, 9) = (3, 3, 3)
v2 = AC × AF = (6, 6, 6) × (3, 3, 3) = (0, 0, 0) (векторное произведение равно нулевому вектору)
3. Векторы v1 и v2 коллинеарны, так как оба равны (3, 3, 3)
4. Поэтому, плоскость AFC параллельна линии B1D.

Совет: Векторные операции требуют хорошего понимания математических концепций и вычислительных навыков. Перед решением подобных задач рекомендуется изучить векторную алгебру и основные операции с векторами.

Упражнение: Дан параллелепипед ABCDA,B1C1D1 с координатами точек A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9), D(10, 11, 12), A1(13, 14, 15), B1(16, 17, 18), C1(19, 20, 21), D1(22, 23, 24). Найдите направляющие векторы линий AB и C1D1, и проверьте их коллинеарность.