Каков радиус шара, который вписан в данную пирамиду с апофемой b и двугранным углом α, образованным ребром основания?

Название: Радиус вписанного шара в пирамиду

Объяснение:

Радиус вписанного шара в пирамиду можно найти с помощью геометрических свойств. Для начала, нам понадобятся две формулы:

1. Формула объёма пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где V - объём пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

2. Формула объёма шара:

V = (4/3) * π * r^3,

где V - объём шара, r - радиус.

Пирамида, в которую вписан шар, имеет апофему b. Известно, что апофема является радиусом описанной окружности основания пирамиды. Также нам дан двугранный угол α, образованный ребром основания пирамиды.

Чтобы найти радиус вписанного шара, нам понадобится выразить радиус шара через известные величины и подставить полученные значения в формулу объёма шара.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой, а половина ребра основания является одной из катетов. Известно, что α - двугранный угол, поэтому мы можем записать, что:

sin α = (половина ребра основания) / апофема,

откуда: половина ребра основания = апофема * sin α.

Теперь у нас есть значение половины ребра основания, которое мы обозначим как a. Найдем площадь основания пирамиды:

S = π * a^2.

Далее, нам нужно найти высоту пирамиды h. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной ребра основания и высотой пирамиды:

h^2 = b^2 - a^2.

Теперь у нас есть все значения, чтобы найти радиус вписанного шара. Заменим известные значения в формуле объёма шара:

(4/3) * π * r^3 = (1/3) * S * h.

Выразим радиус r:

r^3 = (S * h * 3) / (4 * π),

r = ((S * h) / (4 * π))^(1/3).

Вот выражение для радиуса вписанного шара.

Пример использования:

Пусть апофема пирамиды равна 8 и двугранный угол α равен 45 градусов. Найдем радиус вписанного шара.

Решение:
Вычисляем половину ребра основания:
a = апофема * sin α = 8 * sin 45 = 8 * 0.707 = 5.656.

Находим площадь основания пирамиды:
S = π * a^2 = π * 5.656^2 = 100π.

Вычисляем высоту пирамиды:
h^2 = b^2 - a^2 = 8^2 - 5.656^2 = 64 - 32 = 32,
h = √32 ≈ 5.657.

Подставляем значения в формулу для радиуса шара:
r = ((S * h) / (4 * π))^(1/3) = ((100π * 5.657) / (4 * π))^(1/3) ≈ 2.445.

Таким образом, радиус вписанного шара примерно равен 2.445.

Совет:

Для лучшего понимания этой задачи, полезно визуализировать себе пирамиду и шар внутри неё. Можно нарисовать схему или найти подходящую геометрическую модель. Обратите внимание на то, как апофема связана с радиусом шара и ребром основания. Также убедитесь, что вы понимаете, как использовать формулы объёма пирамиды и шара.

Упражнение:

Пирамида имеет апофему, равную 12, и двугранный угол α, равный 60 градусам. Найдите радиус вписанного шара и округлите ответ до ближайшей целой части.