Каков радиус сферы, если она касается граней двугранного угла с углом величиной 60°, а ближайшее расстояние между

Задача: Каков радиус сферы, если она касается граней двугранного угла с углом величиной 60°, а ближайшее расстояние между точками касания на сфере составляет 34π ед. изм.?

Решение:

Пусть сфера касается граней двугранного угла в точках A и B, а расстояние между этими точками на сфере равно 34π ед. изм.
Также дано, что угол величиной 60°.
Поскольку сфера касается двугранного угла, то точки A, B и центр сферы лежат на одной прямой. Обозначим центр сферы O.

Поскольку угол величиной 60°, то треугольник AOB - равносторонний треугольник. Значит, AO равно BO.
Обозначим радиус сферы как r.

Теперь мы можем найти расстояние AO, воспользуясь теоремой Пифагора.

AO² = AB² - BO²
AO² = 34π² - r²
Так как AO = BO, мы можем заменить BO на r.
AO² = 34π² - r²

Теперь подставим значение угла в правильно обозначенный градус в радианы для нахождения длины дуги окружности, равной углу. Это можно сделать с помощью формулы длины дуги:

Длина дуги = (угол в радианах) * (радиус)

60° = (π/3) рад. (Угол в радианах)
34π = (π/3) * (2r) (Угол = Угловая дуга)

Теперь мы можем решить уравнение:

34π = (π/3) * (2r)
34 = (2/3)r
r = (3/2) * 34
r = 51

Таким образом, радиус сферы равен 51 ед. изм.