Каков объем тела, полученного после вращения четырехугольника с вершинами в точках A(0:0), B(0:2), C(4:2) и D(1:0

Тема занятия: Объем тела, полученного после вращения четырехугольника

Пояснение: Чтобы найти объем тела, полученного после вращения четырехугольника вокруг оси, мы можем использовать метод цилиндрического разреза. Этот метод основан на представлении тела в виде бесконечного числа тонких цилиндрических разрезов, которые затем складываются, чтобы получить полный объем.

Для каждого цилиндрического разреза мы можем найти его объем с помощью формулы *V = πr^2h*, где *r* - радиус разреза и *h* - его высота.

Чтобы найти полный объем тела, мы интегрируем объемы всех цилиндрических разрезов. В данном случае, четырехугольник ограничен прямыми *y = 0* и *y = 2*, и осью вращения является *y = 0*.

Мы можем выбрать интегральную переменную *y* и интегрировать от *y = 0* до *y = 2*.

Основываясь на форме четырехугольника, радиус разреза будет меняться от *x = 0* до *x = x_{\text{max}}*, где *x_{\text{max}}* - будет функцией *y*.

Мы можем использовать метод разделения переменных и геометрические свойства четырехугольника, чтобы найти функцию *x_{\text{max}}(y)*. Затем мы сможем выразить радиус *r* через *x_{\text{max}}(y)* и вычислить искомый объем, интегрируя по переменной *y*.

Например: Найдите объем тела, полученного после вращения четырехугольника с вершинами в точках A(0:0), B(0:2), C(4:2) и D(1:0) вокруг оси *y = 0*.

Совет: Для лучшего понимания и решения этой задачи может быть полезно построить график четырехугольника и оси вращения. Также не забудьте использовать геометрические свойства фигуры для определения функции *x_{\text{max}}(y)*.

Задание для закрепления: Найдите объем тела, полученного после вращения четырехугольника с вершинами в точках A(0:0), B(0:3), C(4:3) и D(2:0) вокруг оси *x = 2*.