Каков объем конуса, в который вписан шар, если образующая конуса образует угол 60° с плоскостью основания и радиус шара

Тема: Объем конуса, в который вписан шар

Описание: Для того чтобы найти объем конуса, в который вписан шар, нам понадобятся знания о свойствах конусов и шаров. Обозначим радиус шара как r и образующую конуса как l.

1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом шара, образующей конуса и высотой конуса. Этот треугольник является прямым.

2. Из свойств прямогугольного треугольника, получаем, что синус угла между радиусом шара и образующей конуса равен отношению половины диаметра шара к образующей конуса. То есть sin(60°) = r/l.

3. Решим это уравнение относительно l: l = r/sin(60°).

4. Объем конуса можно найти по формуле: V = (1/3) * pi * r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

5. В данном случае, радиус основания конуса равен радиусу шара r, а высота конуса равна l.

6. Подставим значения в формулу: V = (1/3) * pi * r^2 * l.

7. Заменим l на r/sin(60°): V = (1/3) * pi * r^2 * (r/sin(60°)).

8. Упростим выражение и получим: V = (pi * r^3) / (3 * √3).

Дополнительный материал: Пусть радиус шара равен 4 см. Тогда для нахождения объема конуса, в который вписан этот шар, можно воспользоваться формулой V = (pi * r^3) / (3 * √3). Подставив значение радиуса, получим V = (pi * 4^3) / (3 * √3) = (pi * 64) / (3 * √3) ≈ 37.97 см³.

Совет: Чтобы лучше понять свойства и формулы, связанные с объемом конуса и шара, рекомендуется изучить геометрические свойства и теоремы, связанные с этими фигурами. Также полезно проводить практические задания и решать примеры.

Задача на проверку: Радиус шара, вписанного в конус, равен 6 см. Найдите объем конуса, в который вписан этот шар. (Ответ округлите до двух десятичных знаков).