Каков объем конуса, если полукруг, который является развёрткой его боковой поверхности, имеет радиус

Тема занятия: Объем конуса

Разъяснение: Для нахождения объема конуса мы можем использовать следующую формулу: V = (1/3)πr^2h, где V - объем, r - радиус основания конуса, а h - высота конуса.

В данной задаче нам дано, что полукруг, который является развёрткой боковой поверхности конуса, имеет радиус r. Мы знаем, что боковая поверхность конуса представляет собой полукруг, а ее длина равна обхвату основания. Обхват полукруга равен 2πr, где r - радиус полукруга. Таким образом, длина боковой поверхности конуса равна 2πr.

Мы также знаем, что длина боковой поверхности конуса равна периметру основания, умноженному на высоту конуса. Периметр основания конуса - это длина окружности с радиусом r, то есть 2πr. Таким образом, мы можем записать уравнение: 2πr = 2πrh, где h - высота конуса.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно h, чтобы найти высоту конуса. Для этого делим обе части уравнения на 2πr: h = 1/r. Таким образом, высота конуса равна 1/r.

Теперь мы можем использовать полученные значения радиуса и высоты, чтобы найти объем конуса по формуле: V = (1/3)πr^2h = (1/3)πr^2(1/r) = (1/3)πr.

Демонстрация: Дан конус с полукругом радиусом 5 см. Чтобы найти его объем, мы используем формулу V = (1/3)πr^2h. Подставляя значения, получаем V = (1/3)π(5^2)(1/5) = (1/3)π = π/3. Ответ: объем конуса равен π/3.

Совет: Для лучшего понимания конуса, вы можете визуализировать его, нарисовав сначала полукруг, который является развёрткой боковой поверхности, а затем соединить концы полукруга линией, чтобы получить конус. Далее, вы можете использовать известные формулы и подставить значения для решения задачи.

Дополнительное упражнение: Дан конус с радиусом основания 8 см и высотой 12 см. Найдите его объем.