Каков косинус угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n, если m и n взаимно перпендикулярны и их длины равны

Предмет вопроса: Косинус угла между векторами

Инструкция: Для нахождения косинуса угла между двумя векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов. Если у нас есть два вектора A и B, то косинус угла между ними можно вычислить следующим образом:

cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|)

где θ - угол между векторами, A · B - скалярное произведение векторов A и B, |A| и |B| - длины векторов A и B соответственно.

В данной задаче у нас есть векторы b = 6m - n и c = m + 3n, где m и n - взаимно перпендикулярные векторы с длиной 1.

Сначала найдем скалярное произведение векторов b и c:

b · c = (6m - n) · (m + 3n)

Раскрыв скобки и учитывая, что m и n - взаимно перпендикулярные векторы со значениями длин равными 1, получим:

b · c = (6m - n) · (m + 3n) = 6m · m + 18m · n - n · m - 3n · n

Поскольку m и n - перпендикулярные векторы, их скалярное произведение равно 0:

b · c = 6m · m + 18m · n - n · m - 3n · n = 6 * 1 + 0 - 0 - 3 * 1 = 3

Затем найдем длины векторов b и c:

|b| = |6m - n| = √((6m)^2 + (-1)^2) = √(36m^2 + 1)

|c| = |m + 3n| = √((1)^2 + (3n)^2) = √(1 + 9n^2)

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами b и c, подставив все значения в формулу косинуса:

cos(θ) = (b · c) / (|b| |c|) = 3 / (√(36m^2 + 1) √(1 + 9n^2))

Пример: Найдите косинус угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n, если m и n взаимно перпендикулярны и их длины равны 1.

Совет: Чтобы лучше понять материал по векторам и косинусу угла, рекомендуется изучить основные понятия, связанные с векторами и их операциями, а также формулы для вычисления скалярного произведения и длины вектора.

Задание: Найдите косинус угла между векторами d = 2m + 3n и e = 4m - 5n, если m и n взаимно перпендикулярны и их длины равны 2.