Каков косинус угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n в геометрическом пространстве, если m и n перпендикулярны

Тема: Косинус угла между векторами

Описание:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами, нам необходимо знать скалярное произведение этих векторов и модули каждого из них. Данная задача имеет следующую формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

cosθ = (a ⋅ b) / (|a| * |b|)

Где a и b - вектора, а ⋅ b - скалярное произведение, |a| и |b| - модули каждого вектора.

В нашем случае у нас есть два вектора: b = 6m - n и c = m + 3n. Мы знаем, что m и n перпендикулярны друг другу, а их модули равны 1.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов b и c:

b ⋅ c = (6m - n) ⋅ (m + 3n)

Разложим умножение по распределительному свойству:

b ⋅ c = 6m ⋅ m + 6m ⋅ 3n - n ⋅ m - n ⋅ 3n

Так как m и n являются перпендикулярными векторами, их скалярное произведение равно 0:

b ⋅ c = 6m ⋅ m - n ⋅ 3n

Далее вычислим модули векторов b и c:

|b| = √(6m - n) ⋅ (6m - n)
|c| = √(m + 3n) ⋅ (m + 3n)

Теперь мы можем вычислить косинус угла между векторами, используя формулу:

cosθ = (b ⋅ c) / (|b| * |c|)

Применяя найденные значения, мы получим значение косинуса угла между векторами b и c.

Пример использования:
Дано:
b = 6m - n
c = m + 3n
m и n перпендикулярны друг другу и их модули равны 1.

Решение:
1. Вычисляем скалярное произведение векторов b и c:
b ⋅ c = (6m - n) ⋅ (m + 3n)
b ⋅ c = 6m ⋅ m + 6m ⋅ 3n - n ⋅ m - n ⋅ 3n
b ⋅ c = 6 - 3
b ⋅ c = 3

2. Вычисляем модули векторов b и c:
|b| = √(6m - n) ⋅ (6m - n)
|c| = √(m + 3n) ⋅ (m + 3n)
|b| = √((6)^2 + (-1)^2)
|c| = √((1)^2 + (3)^2)
|b| = √36 + 1
|c| = √1 + 9
|b| = √37
|c| = √10

3. Вычисляем косинус угла между векторами b и c:
cosθ = (b ⋅ c) / (|b| * |c|)
cosθ = 3 / (√37 * √10)

Совет:
Для лучшего понимания и применения данной формулы, рекомендуется ознакомиться с основными понятиями линейной алгебры, такими как векторы, скалярное произведение и модуль вектора.

Упражнение:
Вычислите косинус угла между векторами d = 2m + n и e = -m + 4n в геометрическом пространстве, если m и n перпендикулярны друг другу, а их модули равны 1.