Каким образом можно показать, что плоскости, описанные уравнениями 2x – y + 4z – 20 = 0 и 3x – 14y – 5z + 32

Тема: Перпендикулярные плоскости

Инструкция: Для того чтобы показать, что две плоскости являются перпендикулярными, мы должны проверить, удовлетворяют ли уравнения плоскостей условию ортогональности. Определение перпендикулярных плоскостей заключается в том, что их нормальные векторы должны быть коллинеарными и иметь скалярное произведение равное нулю.

Для начала, найдем нормальные векторы для каждой плоскости, коэффициенты перед неизвестными в уравнениях плоскостей служат в качестве нормалей для плоскостей.

Уравнение первой плоскости: 2x – y + 4z – 20 = 0
Нормальный вектор первой плоскости: (2, -1, 4)

Уравнение второй плоскости: 3x – 14y – 5z + 32 = 0
Нормальный вектор второй плоскости: (3, -14, -5)

Далее, чтобы убедиться, что плоскости перпендикулярны, проверим их скалярное произведение, которое должно быть равно нулю. Выполняя скалярное произведение двух нормальных векторов, мы получаем:

(2, -1, 4) * (3, -14, -5) = 2*3 + (-1)*(-14) + 4*(-5) = 6 + 14 - 20 = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, мы можем сделать вывод, что данные плоскости перпендикулярны.

Дополнительный материал:
Даны две плоскости с уравнениями 2x – y + 4z – 20 = 0 и 3x – 14y – 5z + 32 = 0. Проверьте, являются ли эти плоскости перпендикулярными?

Совет:
Для лучшего понимания и запоминания понятия перпендикулярных плоскостей, рекомендуется изучить свойства векторного произведения и скалярного произведения векторов.

Упражнение:
Проверьте перпендикулярность плоскостей с уравнениями x + 2y - 3z + 5 = 0 и 2x - 4y + 6z - 10 = 0.