Какая площадь сферы, вписанной в конус, если радиус основания конуса составляет 3 см, а угол при вершине осевого

Тема вопроса: Площадь сферы, вписанной в конус

Объяснение: Площадь сферы, вписанной в конус, можно найти, используя формулу площади поверхности сферы и знание свойств конуса. Для начала найдем высоту конуса. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов, что составляет 1/6 полного угла поверхности сферы (360 градусов). Таким образом, полный угол поверхности сферы составляет 6 раз угол осевого сечения конуса.

Известно, что радиус основания конуса составляет 3 см. Рассмотрим правильный треугольник, образованный радиусом основания конуса, высотой конуса и его образующей – радиусом сферы. Такой треугольник является равносторонним.

Так как угол осевого сечения конуса равен 60 градусам, то угол в равностороннем треугольнике также равен 60 градусам. Значит, высота конуса равна 3 см * √3.

Теперь мы можем использовать известные значения для нахождения площади сферы. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле 4πr². Радиус сферы равен половине высоты конуса, так как он располагается посередине.

Радиус сферы: 3 см * √3 / 2
Площадь сферы: 4π(3 см * √3 / 2)²

Пример: Найдите площадь сферы, вписанной в конус с радиусом основания 3 см и углом при вершине осевого сечения 60 градусов.

Совет: Чтобы лучше понять связь между сферой и конусом, представьте, что конус – это сечение сферы на равностороннем треугольнике, а сфера находится внутри конуса.

Ещё задача: Найдите площадь сферы, вписанной в конус с радиусом основания 4 см и углом при вершине осевого сечения 45 градусов.