Известно, что сфера с центром в точке A(-1;3;2) пересекается с осью ординат в точках B(0;-1;0) и С. Необходимо найти

Сфера и ось ординат

Объяснение: Мы имеем сферу с центром в точке A(-1;3;2), которая пересекается с осью ординат (ось Y) в точках B(0;-1;0) и C. Нам требуется найти координаты точки C.

Координаты точек на плоскости можно записать в виде (x;y;z), где x, y и z - это значения по осям X, Y и Z соответственно.

Точка B находится на оси ординат, поэтому у нее значение x и z равно нулю. Таким образом, координаты B можно записать как (0;-1;0).

Также мы знаем, что сфера пересекается с осью ординат в точке C. Значит, у точки C значение x и z также равно нулю.

Используя данную информацию, мы можем записать координаты точки C как (0;?;0).

Чтобы найти значение y, мы должны найти радиус сферы, так как линия, соединяющая центр сферы и точку на поверхности сферы (B в данном случае), будет находиться на радиусе.

Длина отрезка AB - это радиус сферы. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, чтобы найти радиус.

Формула расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2),

где d - расстояние между точками (в данном случае AB), (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2) - координаты точек.

Применяя эту формулу, мы можем найти радиус сферы.

Например:

d = √((0 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2)

d = √(1 + 16 + 4) = √21

Таким образом, радиус сферы равен √21.

Теперь мы можем использовать радиус, чтобы найти значение y для точки C.

Сфера с центром в точке A и радиусом √21 будет иметь уравнение (x+1)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 21.

Подставим x = 0 и z = 0:

(0+1)^2 + (y-3)^2 + (0-2)^2 = 21

1 + (y-3)^2 + 4 = 21

(y-3)^2 = 16

y - 3 = ±4

y = 3 ± 4

Таким образом, координаты точки C будут (0;7;0) и (0;-1;0).

Совет: Чтобы лучше понять это, вы можете визуализировать ситуацию, нарисовав сферу с центром в точке A и радиусом √21, а затем нарисовать линию, проходящую через точку B и пересекающую сферу в точке C.

Задание: Пусть сфера с центром в точке D(2;4;-3) пересекается с осью X в точке E. Найдите координаты точки E.

Суть вопроса: Координаты точки пересечения сферы с осью ординат

Пояснение: Для нахождения координат точки пересечения сферы с осью ординат, мы можем использовать свойство сферы, которое состоит в том, что все точки сферы равноудалены от ее центра.

Дано, что сфера имеет центр в точке A(-1;3;2). Точка B(0;-1;0) находится на оси ординат. Нам нужно найти координаты точки C, которая является точкой пересечения сферы и оси ординат.

Мы можем рассмотреть расстояние между точками A и B, а затем использовать это расстояние, чтобы найти координаты точки C.

Шаги решения:
1. Найдем расстояние между точками A и B. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:

Длина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²),

где (x1, y1, z1) - координаты точки A и (x2, y2, z2) - координаты точки B.

Подставим значения в формулу:

Длина AB = √((0 - (-1))² + (-1 - 3)² + (0 - 2)²) = √(1 + 16 + 4) = √21

2. Так как все точки сферы равноудалены от ее центра, то и точки A и C находятся на расстоянии √21 от центра сферы.

3. Рассмотрим точку C с неизвестными координатами (0; y; 0).

4. Применим формулу расстояния между двумя точками:

Расстояние AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²) = √((0 - (-1))² + (y - 3)² + (0 - 2)²) = √((1 + (y - 3)² + 4) = √(y² - 6y + 10)

5. Так как точки A и C находятся на расстоянии √21 от центра сферы, то имеем следующее равенство:

√(y² - 6y + 10) = √21

6. Возведем обе части уравнения в квадрат:

y² - 6y + 10 = 21

7. Перенесем все члены уравнения влево:

y² - 6y + 10 - 21 = 0

y² - 6y - 11 = 0

8. Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80

9. Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня уравнения:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (6 + √80) / 2 ≈ 7.32

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (6 - √80) / 2 ≈ -1.32

Но у нас есть только одна точка пересечения сферы с осью ординат, поэтому y = -1.32.

10. Итак, координаты точки C равны (0; -1.32; 0).

Совет: Для лучшего понимания данной задачи, полезно вспомнить формулу расстояния между двумя точками в пространстве и формулу дискриминанта квадратного уравнения. Также полезно представлять графическое представление ситуации - визуализируйте сферу с центром в точке A(-1;3;2) и точки B(0;-1;0) на оси ординат.

Задача для проверки: Найдите координаты точек пересечения сферы с центром в точке D(2; -3; 4) радиусом 5 с осью абсцисс.