Известно: А(4; 0), B(12; -2), С(5; -9). Для треугольника АВС найдите: 1) значение периметра; 2) длину медианы

Треугольник ABC - поиск периметра, длины медианы и координат центра описанной окружности.

1) Значение периметра:

Чтобы найти периметр треугольника АВС, нам нужно найти длины всех его сторон и сложить их.

Сторона AB:
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
AB = √((12 - 4)² + (-2 - 0)²)
AB = √(8² + (-2)²)
AB = √(64 + 4)
AB = √68
AB ≈ 8,25

Сторона BC:
BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)
BC = √((5 - 12)² + (-9 - (-2))²)
BC = √((-7)² + (-7)²)
BC = √(49 + 49)
BC = √98
BC ≈ 9,90

Сторона CA:
CA = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)
CA = √((5 - 4)² + (-9 - 0)²)
CA = √(1² + (-9)²)
CA = √(1 + 81)
CA = √82
CA ≈ 9,06

Периметр P равен сумме длин сторон:
P = AB + BC + CA
P ≈ 8,25 + 9,90 + 9,06
P ≈ 27,21

Ответ: Значение периметра треугольника ABC ≈ 27,21.

2) Длина медианы АN:

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Для нахождения длины медианы АN нам нужно найти середину стороны BC, а затем вычислить расстояние между точками A и серединой стороны BC.

Середина стороны BC:
Mx = (x₂ + x₃) / 2
My = (y₂ + y₃) / 2
Mx = (12 + 5) / 2
My = (-2 - 9) / 2
Mx = 17 / 2
My = -11 / 2
M(8,5; -5,5)

Длина медианы АN:
AN = √((x - mx)² + (y - my)²)
AN = √((4 - 8,5)² + (0 - (-5,5))²)
AN = √((-4,5)² + 5,5²)
AN = √(20,25 + 30,25)
AN = √50,5
AN ≈ 7,10

Ответ: Длина медианы АN ≈ 7,10.

3) Координаты центра окружности, описывающей треугольник, и ее радиус:

Центр окружности, описывающей треугольник, является пересечением перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника.

Для координат центра окружности нам потребуются середины двух сторон треугольника.

Середина стороны AB:
Mx = (x₁ + x₂) / 2
My = (y₁ + y₂) / 2
Mx = (4 + 12) / 2
My = (0 - 2) / 2
Mx = 8
My = -1
M(8; -1)

Середина стороны AC:
Nx = (x₁ + x₃) / 2
Ny = (y₁ + y₃) / 2
Nx = (4 + 5) / 2
Ny = (0 - 9) / 2
Nx = 9
Ny = -4,5
N(9; -4,5)

Теперь мы можем найти координаты центра окружности, проведя перпендикуляры к сторонам AB и AC через точки M и N соответственно. Пересечение этих перпендикуляров даст нам центр окружности.

Координаты центра окружности:
Cx = (Nx × (My - Ny) + Mx × (Ny - Ly)) / ((My - Ny) + (Mx - Nx) × (Ny - Ly))
Cy = ((My - Ny) × (Mx - Lx) + (Mx × (My - Ny))) / ((My - Ny) + (Mx - Nx) × (Ny - Ly))
Cx = (9 × (-1 - (-4,5)) + 8 × (-4,5 - (-9))) / ((-1 - (-4,5)) + (8 - 9) × (-4,5 - (-9)))
Cx = (9 × (-1 + 4,5) + 8 × (-4,5 + 9)) / ((-1 + 4,5) + (-1) × (-4,5 + 9))
Cx = (9 × 3,5 + 8 × 4,5) / (3,5 + 4,5)
Cx = (31,5 + 36) / 8
Cx ≈ 67,5 / 8
Cx ≈ 8,4375

Cy = ((-1 - (-4,5)) × (8 - 9) + (9 × (-1 - (-4,5)))) / ((-1 - (-4,5)) + (8 - 9) × (-4,5 - (-9)))
Cy = ((-1 + 4,5) × (-1) + 9 × (-1 + 4,5)) / (3,5 + (-1) × (-4,5 + 9))
Cy = (3,5 × (-1) + 9 × 3,5) / (3,5 + 4,5)
Cy = (-3,5 + 31,5) / 8
Cy ≈ 28 / 8
Cy ≈ 3,5

Радиус окружности - это расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника. Мы можем использовать расстояние от центра окружности до вершины A, так как мы уже знаем координаты точек A и C.

Радиус окружности:
r = √((x - cx)² + (y - cy)²)
r = √((4 - 8,4375)² + (0 - 3,5)²)
r = √((-4,4375)² + (-3,5)²)
r = √(19,626953127 + 12,25)
r ≈ √31,876953127
r ≈ 5,65

Ответ: Координаты центра описанной окружности C(8,4375; 3,5), радиус окружности ≈ 5,65.