Если длины ненулевых векторов →a и →b одинаковы, то каков угол между ними, если векторы →a+→2b и →5a

Тема: Угол между векторами

Объяснение: Чтобы найти угол между векторами, нам понадобится использовать скалярное произведение.

Первым делом, давайте рассмотрим условие, что длины векторов →a и →b одинаковы. Если длины векторов одинаковы, это означает, что векторы равны по модулю. То есть |→a| = |→b|.

Теперь, у нас есть векторы →a+→2b и →5a - →4b, которые перпендикулярны. Перпендикулярные векторы означают, что их скалярное произведение равно нулю. То есть (→a+→2b)·(→5a - →4b) = 0.

Произведем вычисления:
(→a+→2b)·(→5a - →4b) = 0
→a·→5a + →a·(-→4b) + →2b·→5a + →2b·(-→4b) = 0

Теперь выразим скалярное произведение через модули векторов и угол между ними:
|→a|^2 + →a·(-→4b) + 2|→b||→a|cosθ - 2|→b|^2 = 0
|→a|^2 - 4|→a||→b|cosθ + 2|→b|^2 - 2|→b|^2 = 0
|→a|^2 - 4|→a||→b|cosθ = 0

Так как |→a| = |→b|, мы можем заменить их значения и упростить уравнение:
|→a|^2 - 4|→a|^2cosθ = 0
|→a|^2(1 - 4cosθ) = 0

Чтобы угол между векторами был ненулевым, мы должны решить уравнение 1 - 4cosθ = 0:
cosθ = 1/4

Теперь найден угол между векторами и это можно использовать для дальнейших вычислений.

Совет: Если вам понадобится найти угол между векторами, всегда используйте скалярное произведение. Уделите внимание условиям и ограничениям задачи, таким как равенство длин в данной задаче.

Упражнение: Для векторов →a и →b, если |→a| = 3 и |→b| = 2, найдите угол между векторами, если →a·→b = -6.