Два из заданий ЕГЭ, под номером 16, которые по какой-то причине не были решены и практически забыты, но довольно

Задача 1
Разъяснение:
а) Для доказательства этой части задачи можно использовать свойство равнобедренного треугольника, согласно которому средняя линия параллельна основанию и равна половине основания. Рассмотрим треугольник ABP, где P - середина стороны BC треугольника ABC. Также рассмотрим треугольник ACQ, где Q - середина стороны BC треугольника ABC. По свойству равнобедренного треугольника в треугольниках ABP и ACQ соответственно BP = AP и CQ = AQ. Также мы знаем, что P и Q - середины отрезков BC и AC. Из этого следует, что P и Q - середины отрезков AB и AC, а значит отрезок PQ проходит через середину отрезка AB.
б) Для нахождения длины отрезка PQ мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Известно, что BC = 3√2, AP = CQ = √2. Рассмотрим правильный треугольник ABI, где I - центр вписанной окружности. По свойствам правильного треугольника AI = IB = BI = 2√2/3. Из правильного треугольника ABI можно найти радиус вписанной окружности, используя формулу r = (2 * площадь треугольника) / (периметр треугольника). Площадь правильного треугольника ABI равна (√3 * AB^2) / 4, а его периметр равен 3 * AB. Подставив данные значения, получим r = √6 / 9. Теперь мы можем найти высоту треугольника ABI, проходящую через центр вписанной окружности и точку M, середину PQ. Из прямоугольного треугольника AIM, где IM - высота, получаем IM^2 = AI^2 - AM^2 => IM = √(AI^2 - AM^2) = √[(2√2/3)^2 - (√6 / 9)^2] = √2 / 3. Таким образом, длина отрезка PQ равна 2 * IM = 2 * (√2 / 3) = 2√2 / 3.

Дополнительный материал:
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, проходит через середину отрезка PQ.
б) Найдите длину отрезка PQ, который находится внутри вписанной окружности треугольника ABC, если AB = AC = BC = 3√2, CQ = AP = √2.

Совет: Для более легкого понимания задачи, нарисуйте треугольник ABC и его вписанную окружность. Убедитесь, что вы понимаете свойства равнобедренного треугольника и правильного треугольника. Обратите внимание на середины отрезков и их связь с средней линией. Примените формулу площади и периметра правильного треугольника для нахождения радиуса вписанной окружности.

Закрепляющее упражнение:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC и боковыми сторонами AB и AC, доказать, что средняя линия, параллельная основанию BC и проходящая через вершину A, делит основание на две равные части. Найти длину отрезка, который находится внутри равнобедренного треугольника и ограничен средней линией. Для вычисления длины отрезка использовать известные значения сторон треугольника.