Довести, що точки d, e, f і k утворюють паралелограм, і знайти периметр цього паралелограма

Тема: Паралелограм и его периметр

Пояснение: Параллелограм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Для доказательства, что точки d, e, f и k образуют параллелограм, нам нужно проверить два условия: стороны и диагонали параллелограма.

1. Условие сторон: Сначала проверим, что стороны de и fk параллельны. Для этого построим векторы:

Вектор DE = (xe - xd, ye - yd)
Вектор FK = (xk - xf, yk - yf)

Если векторы DE и FK равны или пропорциональны, то стороны de и fk параллельны.

2. Условие диагоналей: Проверим, что диагонали df и ek пересекаются в их серединах. Для этого посчитаем середины диагоналей:

Середина DF = ((xd + xf) / 2, (yd + yf) / 2)
Середина EK = ((xe + xk) / 2, (ye + yk) / 2)

Если середины диагоналей совпадают, то диагонали df и ek пересекаются в их серединах.

Если оба условия выполнены, то точки d, e, f и k образуют параллелограм.

Для вычисления периметра параллелограма, необходимо сложить длины всех его сторон. Учитывая, что параллелограм имеет две параллельные стороны одинаковой длины, периметр можно выразить следующим образом:

Периметр = 2 * (длина de + длина ef)

Пример использования:
Дано: d(2, 4), e(5, 8), f(10, 8), k(7, 4)
Требуется: Доказать, что точки d, e, f и k образуют параллелограм и найти его периметр.

Решение:
1. Построим векторы DE и FK:
Вектор DE = (5 - 2, 8 - 4) = (3, 4)
Вектор FK = (7 - 10, 4 - 8) = (-3, -4)

Оба вектора равны и противоположно направлены, что означает параллельность сторон de и fk.

2. Найдем середины диагоналей:
Середина DF = ((2 + 10) / 2, (4 + 8) / 2) = (6, 6)
Середина EK = ((5 + 7) / 2, (8 + 4) / 2) = (6, 6)

Середины диагоналей совпадают, что означает пересечение диагоналей df и ek в их серединах.

Таким образом, точки d, e, f и k образуют параллелограм.

3. Вычислим периметр параллелограма:
Длина de = √((5 - 2)² + (8 - 4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Длина ef = √((10 - 5)² + (8 - 8)²) = √(25 + 0) = √25 = 5

Периметр = 2 * (5 + 5) = 2 * 10 = 20

Таким образом, периметр данного параллелограма равен 20 единицам.

Совет: Чтобы легче понять концепцию параллелограма, можно нарисовать его на бумаге, используя координаты точек. Первый шаг - построить прямоугольник, заданный точками d, e, f и k, а затем проверить условия параллельности сторон и пересечения диагоналей.

Практика:
Дано: Точки a(1, 2), b(4, 5), c(8, 2), d(5, -1)
Докажите, что точки a, b, c и d образуют параллелограм и найдите его периметр.