Докажите неравенство AC < CB для треугольника ABC, где на стороне AB точка F такая, что ∠ACF=48° и ∠BFC=115°

Формула медианы

Для доказательства неравенства AC < CB мы воспользуемся свойством медианы в треугольнике ABC. Медиана – это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Обоснование

Пусть точка M – середина стороны AB. Заметим, что треугольники ACM и BCM имеют равные высоты, так как сторона AB является общей для обоих треугольников. Значит, для доказательства неравенства AC < CB достаточно показать, что гипотенуза треугольника ACM (AC) меньше гипотенузы треугольника BCM (CB).

Пошаговое решение

1. Найдем значение угла BAC. Так как ∠ACF = 48° и ∠BFC = 115°, то ∠BAC = 180° - 48° - 115° = 17°.
2. Заметим, что угол ∠BCA также равен 17°, так как треугольник ABC является треугольником суммы углов.
3. Используя теорему синусов в треугольнике ACM, получим AC / sin(17°) = AM / sin(48°).
4. Используя теорему синусов в треугольнике BCM, получим CB / sin(17°) = BM / sin(115°).
5. Поскольку AM равняется BM (так как это середина стороны AB), можем сравнить отношения длин гипотенуз. Значит, неравенство AC < CB верно.

Совет

Для лучшего понимания знакомства с доказательством неравенств и использовании тригонометрических соотношений будет полезно повторить основные свойства треугольников и тригонометрии.

Ещё задача

В треугольнике ABC на стороне AC выбрана точка D так, что AD = DC. Докажите, что BD является медианой треугольника ABC.**