Докажите, что у касательной CB и секущей CA окружности справедливо утверждение: CB2 = CA⋅CD. Советы для доказательства

Предмет вопроса: Доказательство утверждения о касательной и секущей окружности

Пояснение: Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке O. Касательная CB и секущая CA пересекаются в точке C. Нам нужно доказать, что CB² = CA ⋅ CD.

Шаг 1: Докажем, что угол 2 равен углу 3. Для этого проведем диаметр окружности, проходящий через точку B и перпендикулярный касательной CB. Обозначим точку пересечения диаметра и секущей как точку D. Так как AB является хордой, то угол 2 является вписанным углом, а угол 3 является центральным углом, опирающимся на ту же дугу. Согласно формуле градусной меры вписанных углов, угол 2 равен углу 3.

Шаг 2: Далее мы доказываем, что треугольник CBA подобен треугольнику CDB. Мы уже знаем, что угол 2 равен углу 3. Кроме того, угол BCD является внешним углом треугольника CDB, а значит, он равен сумме углов 2 и 3. Мы получили следующее: угол BCD = угол 2 + угол 3. Так как угол 2 и угол 3 равны, то угол BCD равен двум углам 2, то есть 2⋅2 = 4.

Шаг 3: Теперь давайте рассмотрим соотношение сторон в подобных треугольниках CBA и CDB. Мы знаем, что угол 2 равен углу 3 и угол BCD равен 4. По свойству подобных треугольников соотношение длин сторон равно соотношению длин соответствующих сторон. Исходя из этого, мы можем записать следующее условие соотношения сторон: AB/BC = BC/CD.

Шаг 4: Для получения уравнения, связывающего BC и CD, мы можем заменить AB на CA - CB (вычитание от AB даст CA, и CB останется без изменений) и упростить уравнение: (CA - CB)/BC = BC/CD.

Шаг 5: Теперь мы можем перейти к решению уравнения, чтобы получить искомое соотношение двух отрезков. Сначала умножим обе стороны на BC и получим (CA - CB) = BC²/CD.

Шаг 6: Затем переместим CB влево и получим CA = CB + BC²/CD.

Шаг 7: Наконец, возводим обе стороны уравнения в квадрат и получим CA² = (CB + BC²/CD)².

Шаг 8: Раскрываем скобки и получаем CA² = CB² + 2⋅CB⋅BC²/CD + (BC²/CD)².

Шаг 9: Мы знаем, что CB² = CA ⋅ CD. Подставим это равенство в уравнение: CA² = CA ⋅ CD + 2⋅CB⋅BC²/CD + (BC²/CD)².

Шаг 10: Упростим уравнение, приведя подобные слагаемые: CA² = CA ⋅ CD + (2⋅CB⋅BC² + (BC²)²)/CD.

Шаг 11: Теперь вынесем CA за скобку: CA² - CA ⋅ CD = (2⋅CB⋅BC² + (BC²)²)/CD.

Шаг 12: Получаем: CA(CA - CD) = (2⋅CB⋅BC² + (BC²)²)/CD.

Шаг 13: Делим обе части уравнения на (CA - CD) и получаем CA = (2⋅CB⋅BC² + (BC²)²)/(CA - CD).

Шаг 14: Наконец, заменяем AB на CA - CB, и получаем CA = (2⋅CB⋅BC² + (BC²)²)/(CA - CD) = (CA - CB)⋅(CB + BC²/CD)/(CA - CD).

Шаг 15: Мы видим, что CA - CB = AB, а CB + BC²/CD = CD (по предыдущему рассуждению).

Шаг 16: В результате имеем CA = AB⋅CD/(CA - CD), или в другой форме записи: CB² = CA⋅CD.

Демонстрация: В данной задаче нам необходимо было доказать, что CB² = CA⋅CD для касательной CB и секущей CA окружности. Мы использовали геометрические свойства, такие как вписанные и центральные углы, а также подобные треугольники, чтобы доказать это утверждение.

Совет: Важно помнить геометрические свойства, такие как вписанные углы и центральные углы, а также свойства подобных треугольников. Они часто применяются для решения геометрических задач. Разберитесь с базовыми свойствами и формулами, используемыми в геометрии. Решайте практические задачи и делайте доказательства для закрепления знаний.

Задача для проверки: В треугольнике ABC проведена медиана AM. Найдите отношение площади треугольника MBC к площади треугольника ABC.