Докажите, что точки А(2, 1, 0), В(0, 4, -3), С(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) представляют собой вершины трапеции. Определите

Содержание вопроса: Трапеция и ее основания

Инструкция:
Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Для доказательства того, что точки А(2, 1, 0), В(0, 4, -3), С(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) представляют собой вершины трапеции, нам нужно показать, что одна пара сторон параллельна, а другая пара сторон - нет.

Для начала, найдем векторы, соединяющие соседние точки:
AB = В - А = (0, 4, -3) - (2, 1, 0) = (-2, 3, -3)
BC = С - В = (-2, 3, -5) - (0, 4, -3) = (-2, -1, -2)
CD = D - C = (2, -3, 1) - (-2, 3, -5) = (4, -6, 6)
DA = А - D = (2, 1, 0) - (2, -3, 1) = (0, 4, -1)

Затем проверим, являются ли векторы AB и CD параллельными:
AB = (-2, 3, -3)
CD = (4, -6, 6)

Теперь посмотрим на векторы BC и DA:
BC = (-2, -1, -2)
DA = (0, 4, -1)

Как видим, векторы AB и CD не параллельны, а векторы BC и DA не параллельны. Следовательно, у нас есть две параллельные стороны (AB и CD) и две непараллельные стороны (BC и DA), что делает эти точки вершинами трапеции.

Длины оснований трапеции:
Основание AB - длина вектора AB: |AB| = √((-2)^2 + 3^2 + (-3)^2) = √(4 + 9 + 9) = √22
Основание CD - длина вектора CD: |CD| = √(4^2 + (-6)^2 + 6^2) = √(16 + 36 + 36) = √88

Совет:
Для лучшего понимания темы, можно нарисовать график, отметив точки А, В, С и D и соединив их ребрами. Также полезно вспомнить определение трапеции и ее оснований.

Задача на проверку:
Определите, являются ли точки E(-1, 2, 4), F(3, -1, -3), G(1, 0, 1) и H(0, -2, 2) вершинами трапеции. Если да, то найдите длины ее оснований.

Содержание: Геометрия и трапеция

Объяснение:

Для доказательства того, что точки A(2, 1, 0), B(0, 4, -3), C(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) представляют собой вершины трапеции, нужно проверить, существуют ли две параллельные стороны и две непараллельные стороны.

Давайте рассмотрим векторы AB, AD и BC:

Вектор AB = B - A = (0-2, 4-1, -3-0) = (-2, 3, -3)

Вектор AD = D - A = (2-2, -3-1, 1-0) = (0, -4, 1)

Вектор BC = C - B = (-2-0, 3-4, -5+3) = (-2, -1, -2)

Теперь проанализируем скалярное произведение двух векторов. Если скалярное произведение равно 0, это означает, что эти два вектора перпендикулярны друг другу и стороны AB и AD будут параллельными.

AB ⋅ AD = (-2)(0) + (3)(-4) + (-3)(1) = 0 - 12 - 3 = -15

Скалярное произведение AB ⋅ AD не равно нулю, поэтому стороны AB и AD не параллельны друг другу.

Теперь проверим скалярное произведение векторов BC и AD:

BC ⋅ AD = (-2)(0) + (-1)(-4) + (-2)(1) = 0 + 4 - 2 = 2

Скалярное произведение BC ⋅ AD не равно нулю, поэтому стороны BC и AD не параллельны друг другу.

Таким образом, мы видим, что стороны AB и AD не параллельны, стороны BC и AD не параллельны, что делает эти стороны непараллельными.

Так как у нас есть две пары непараллельных сторон и две противоположные стороны AB и DC параллельны, мы можем заключить, что точки A, B, C и D представляют собой вершины трапеции.

Доп. материал:

Докажите, что точки A(2, 1, 0), B(0, 4, -3), C(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1) представляют собой вершины трапеции и определите длины ее оснований.

Совет:

Для более легкого понимания геометрических форм и свойств объектов, рекомендуется использовать визуализацию. Вы можете нарисовать эти точки на координатной плоскости или использовать программу для построения 3D-моделей.

Закрепляющее упражнение:

Найдите длины оснований трапеции, заданной точками A(2, 1, 0), B(0, 4, -3), C(-2, 3, -5) и D(2, -3, 1).