Докажите, что точки A(2, 1,0), B(0,4,-3), C(-2,3,-5), D(2,-3,1) образуют вершины трапеции. Найдите длины её оснований

Тема: Доказательство, что точки образуют вершины трапеции и нахождение длин её оснований

Разъяснение: Чтобы доказать, что точки A(2, 1,0), B(0,4,-3), C(-2,3,-5), D(2,-3,1) образуют вершины трапеции, нам необходимо выполнить два шага.

Шаг 1: Для начала, построим векторы AB, BC, CD и DA с помощью данных точек. Вектор AB можно получить вычислив разность координат точек A и B: AB = B - A = (0, 4, -3) - (2, 1, 0) = (-2, 3, -3). Аналогично, векторы BC, CD и DA могут быть вычислены следующим образом: BC = C - B = (-2, 3, -5) - (0, 4, -3) = (-2, -1, -2), CD = D - C = (2, -3, 1) - (-2, 3, -5) = (4, -6, 6), DA = A - D = (2, 1, 0) - (2, -3, 1) = (0, 4, -1).

Шаг 2: Затем, проверим, являются ли векторы AB и CD параллельными. Для этого вычислим скалярное произведение векторов AB и CD. Если скалярное произведение равно нулю, то это означает, что векторы AB и CD перпендикулярны друг другу и точки A, B, C, D образуют вершины трапеции.

AB · CD = (-2)(4) + (3)(-6) + (-3)(6) = -8 - 18 - 18 = -44

Так как AB · CD ≠ 0, то это означает, что векторы AB и CD не перпендикулярны друг другу и точки A, B, C, D не образуют трапецию.

Совет: Вершины трапеции образуют плоскую фигуру с двумя параллельными сторонами. При доказательстве, вы можете использовать алгоритм проверки параллельности векторов или использовать свойство, что в трапеции одна пара противоположных сторон параллельна.

Задание для закрепления: Докажите, что точки A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9), D(10, 11, 12) образуют вершины трапеции. Найдите длины её оснований.