Докажите, что прямая AC является касательной к окружности, если известно, что угол BOA равен 110°, а угол CAB равен

Тема: Доказательство того, что прямая AC является касательной к окружности

Объяснение:
Для доказательства того, что прямая AC является касательной к окружности, нам понадобятся два факта:
1. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, натянутому на дугу хорды.
2. Если угол, натянутый на дугу хорды, равен углу, который опирается на эту дугу, то эта хорда является касательной.

Итак, у нас есть угол BOA, равный 110°. Мы также знаем, что угол CAB равен 55°. Для доказательства, что прямая AC является касательной, мы должны установить, что угол между прямой AC и хордой BC равен углу BOC, натянутому на дугу BC.

Сначала рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два известных угла: угол CAB равен 55°, а угол в точке B равен 110° (поскольку BOA = BOC = 110°). Складывая эти два угла, получаем 165°. Но сумма углов треугольника должна быть равна 180°, поэтому угол в точке C равен 180° - 165° = 15°.

Теперь рассмотрим окружность. Угол BOC, натянутый на дугу BC, равен 2 * угол в точке C, поскольку угол вписанного угла равен углу, натянутому на ту же дугу. Значит, угол BOC = 2 * 15° = 30°.

Таким образом, угол между прямой AC и хордой BC (угол, который хотим доказать, что равен углу BOC) равен 30°, а угол BOC также равен 30°. Следовательно, прямая AC является касательной к окружности.

Демонстрация:
В задаче нам заданы углы BOA и CAB. Чтобы доказать, что прямая AC является касательной к окружности, нужно использовать два факта: угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, натянутому на дугу хорды, и если угол, натянутый на дугу хорды, равен углу, который опирается на эту дугу, то эта хорда является касательной. Далее, мы использовали данные углы и свойства треугольника и окружности, чтобы доказать, что угол между прямой AC и хордой BC равен углу BOC, натянутому на дугу BC. Затем мы сравнили эти два угла и пришли к выводу, что прямая AC является касательной к окружности.

Совет:
Для понимания и доказательства того, что прямая является касательной к окружности, полезно использовать свойства треугольников и окружностей. Изучите эти свойства и узнайте, как они применяются, чтобы доказать, что заданная прямая является касательной.

Закрепляющее упражнение:
Докажите, что прямая BD является касательной к окружности, если угол CAD равен 60°, а угол ADB равен 30°.