Докажите, что для каждого угла α в промежутке от 0º до 90º следующие уравнения верны: sin α = 2 sin α/2 * cos α/2

Предмет вопроса: Доказательство тригонометрических уравнений

Описание:

Для доказательства данных тригонометрических уравнений, мы воспользуемся знаниями о трёх основных тригонометрических функциях - синусе, косинусе и половинных углах.

Для первого уравнения sin α = 2 sin α/2 * cos α/2:
1. Используя формулу синуса половинного угла (sin α/2 = √(1 - cos α) / 2), мы заменяем sin α/2 в уравнении:
sin α = 2 * (√(1 - cos α) / 2) * cos α/2

2. Упрощаем выражение в правой части уравнения:
sin α = √(1 - cos α) * cos α/2

3. Возводим обе части уравнения в квадрат:
(sin α)² = (√(1 - cos α) * cos α/2)²

4. Раскрываем скобки и упрощаем:
sin² α = (1 - cos α) * (cos α/2)²

5. Заменяем формулу для cos α/2 (cos α/2 = √((1 + cos α) / 2)):
sin² α = (1 - cos α) * (√((1 + cos α) / 2))²

6. Упрощаем выражение:
sin² α = (1 - cos α) * (1 + cos α) / 2

7. Упрощаем дробь и раскрываем скобки:
sin² α = (1 - cos² α) / 2

8. Заменяем формулу для sin² α (sin² α = 1 - cos² α):
1 - cos² α = (1 - cos² α) / 2

Таким образом, мы доказали, что первое уравнение sin α = 2 sin α/2 * cos α/2 верно для всех углов α в промежутке от 0º до 90º.

Дополнительный материал:
Докажите, что значение sin 60º равно 2 sin 30º * cos 30º.

Совет:
Для понимания и запоминания тригонометрических формул, полезно повторять решение задач и доказательств, а также проводить дополнительные вычисления с разными углами и значениями тригонометрических функций.

Задание:
Докажите, что для каждого угла α в промежутке от 0º до 90º следующее уравнение верно: cos² α = 1/2 * (1 + cos 2α).

Тема урока: Тождества двойного угла для синуса и косинуса

Разъяснение: Определяем углы α/2, где α находится в промежутке от 0º до 90º. Пользуясь формулами синуса и косинуса для углов, меньших α, мы можем выразить синус и косинус каждого угла α через синусы и косинусы соответствующих углов α/2.

Для первого уравнения sin α = 2 sin α/2 * cos α/2, применяя формулу синуса для двойного угла, верно следующее: sin 2θ = 2 sin θ * cos θ. Здесь мы можем заметить, что α соответствует 2θ. Подставляя 2θ вместо α в формулу, получаем: sin 2(α/2) = 2 sin (α/2) * cos (α/2). Упрощая это уравнение, получаем sin α = 2 sin α/2 * cos α/2.

Для второго уравнения cos α = 2cos²(α/2), используем формулу косинуса двойного угла: cos 2θ = cos²θ - sin²θ. Подставляя α вместо 2θ, получаем: cos 2(α/2) = cos²(α/2) - sin²(α/2). Упрощая это уравнение, получаем cos α = 2 cos²(α/2).

Пример: Для угла α = 60º, мы можем проверить первое уравнение: sin 60º = 2 sin 30º * cos 30º. Подставляя значения синусов и косинусов, получаем: √3/2 = 2 * 1/2 * √3/2. Обе части уравнения равны, что доказывает верность уравнения.

Совет: Чтобы лучше понять эти тождества, полезно знать формулы синуса и косинуса для углов, меньших данного угла. Также полезно изучить геометрическую интерпретацию этих тождеств, чтобы представить себе, как они работают на единичной окружности.

Задача для проверки: Докажите, что для угла α = 45º верны следующие уравнения: sin α = 2 sin α/2 * cos α/2 и cos α = 2cos²(α/2).