Доказать равенство площади треугольника MКD площади четырехугольника ABCD

Доказательство равенства площадей треугольника MКD и четырехугольника ABCD:

Пусть треугольник MКD и четырехугольник ABCD находятся на плоскости с координатами точек M(x1, y1), К(x2, y2), D(x3, y3), A(x4, y4), B(x5, y5), C(x6, y6).

Для начала, найдем площадь треугольника MКD по формуле:

S_triangle_MKD = 0.5 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

Затем, найдем площадь четырехугольника ABCD, разбив его на два треугольника: треугольник DAB и треугольник BCD.

S_quadrilateral_ABCD = S_triangle_DAB + S_triangle_BCD

Найдем площади треугольников DAB и BCD по формуле для треугольника MКD:

S_triangle_DAB = 0.5 * |x3(y4-y5) + x4(y5-y3) + x5(y3-y4)|

S_triangle_BCD = 0.5 * |x2(y5-y6) + x5(y6-y2) + x6(y2-y5)|

Суммируем площади треугольников:

S_quadrilateral_ABCD = 0.5 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)| + 0.5 * |x3(y4-y5) + x4(y5-y3) + x5(y3-y4)| + 0.5 * |x2(y5-y6) + x5(y6-y2) + x6(y2-y5)|

Если после всех вычислений мы получаем одинаковые значения для S_triangle_MKD и S_quadrilateral_ABCD, то мы доказываем равенство площадей.

Демонстрация:

Пусть M(3, 4), К(2, 6), D(7, 8), A(1, 1), B(4, 5), C(6, 3).

S_triangle_MKD = 0.5 * |3(6-8) + 2(8-4) + 7(4-6)| = 0.5 * |-8 - 12 - 8| = 0.5 * |-28| = 14

S_triangle_DAB = 0.5 * |7(1-5) + 1(5-8) + 4(8-1)| = 0.5 * |-28 + 7 + 28| = 0.5 * 7 = 3.5

S_triangle_BCD = 0.5 * |2(5-3) + 4(3-6) + 6(6-5)| = 0.5 * |2 + 12 - 6| = 0.5 * 8 = 4

S_quadrilateral_ABCD = S_triangle_DAB + S_triangle_BCD = 3.5 + 4 = 7.5

Таким образом, S_triangle_MKD = S_quadrilateral_ABCD = 14 = 7.5, что доказывает равенство площадей.

Совет:

Для упрощения вычислений, можно использовать геометрический подход и построить графическое представление треугольника MКD и четырехугольника ABCD на координатной плоскости. Это поможет визуализировать фигуры и легче провести вычисления.

Задание:

Найти площадь треугольника MКD и четырехугольника ABCD, если точки имеют следующие координаты:
M(2, 3), К(-1, 5), D(4, 7), A(0, 0), B(3, 4), C(5, 2).