Для правильного многоугольника покажите, что результат умножения числа сторон на радиус окружности, вписанной в этот

Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Чтобы доказать, что результат умножения числа сторон на радиус окружности, вписанной в многоугольник, равен сумме длин перпендикуляров, проведенных из внутренней точки на все стороны многоугольника, мы воспользуемся свойствами подобных треугольников и геометрическими рассуждениями.

Пусть N будет число сторон правильного многоугольника, а R - радиус окружности, вписанной в этот многоугольник.

Так как многоугольник правильный, то угол при вершине равномерно делится на N равных углов. Обозначим этот угол через α.

Рассмотрим треугольник, который образуется соединением одной из вершин многоугольника и центра окружности, вписанной в многоугольник, а также проведением перпендикуляра из центра окружности на сторону многоугольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны (радиус окружности и перпендикуляр) равны, а угол при вершине равен половине α.

Теперь, чтобы получить сумму длин перпендикуляров на все стороны многоугольника, мы просто умножаем длину одного перпендикуляра на количество сторон многоугольника. Длина этого перпендикуляра равна 2R*cos(α/2), так как это катет в прямоугольном треугольнике с углом, равным половине α.

Таким образом, сумма длин перпендикуляров равна 2R*cos(α/2)*N. Но так как угол α равномерно делится на N равных углов, то cos(α/2) можно заменить на sin(α/2), и получим, что сумма длин перпендикуляров равна 2R*sin(α/2)*N.

Осталось доказать, что R*N - это результат умножения числа сторон на радиус окружности.
Он равен периметру многоугольника и можем разделить на N, тогда получим пусть P, потом деленное на 2* N даст R.
2R * sin(α/2) * N это P * sin(α/2).

Таким образом, мы показали, что результат умножения числа сторон на радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен сумме длин перпендикуляров, проведенных из внутренней точки многоугольника на все стороны многоугольника.

Задача на проверку: Для правильного шестиугольника со стороной длиной 5, найдите длину перпендикуляра, проведенного из его внутренней точки на одну из его сторон. Ответ округлите до ближайшего целого числа.