Чему равен радиус окружности, вписанной в данный правильный треугольник? Приведите полное объяснение с рисунком

Суть вопроса: Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Объяснение:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, можно найти, используя свойство вписанных углов и свойство равных сторон.

Рассмотрим правильный треугольник ABC, в котором О - центр вписанной окружности. Проведем линии AO, BO и CO от ортоцентра О до середин соответствующих сторон треугольника (точки D, E и F соответственно).

Так как треугольник ABC - правильный, то углы AOC, AOB и BOC равны между собой и равны 120°. Также, так как AD, BE и CF - медианы треугольника, они делятся точкой пересечения в отношении 2:1.

Следовательно, угол ADO = 30°. Так как угол между радиусом и касательной окружности равен 90°, то угол DAO = 90° - 30° = 60°.

Таким образом, получаем, что в треугольнике ADO угол D = 90°, угол ODA = 60° и угол AOD = 30°.

Так как ∠ADO = 90°, то отсюда следует, что треугольник ADO - прямоугольный.

Из свойств прямоугольного треугольника следует, что радиус окружности (OD) делит сторону треугольника (AD) пополам.
Таким образом, радиус окружности будет равен половине длины стороны треугольника.

Дополнительный материал:
Пусть длина стороны треугольника ABC равна 12 см. Тогда радиус окружности, вписанной в данный правильный треугольник, будет 6 см.

Совет:
Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется изучить свойства правильного треугольника, свойства вписанных углов, а также свойства и связи радиуса, диаметра и сторон треугольника со вписанной окружностью.

Дополнительное задание:
Дан правильный треугольник со стороной длиной 10 см. Найдите радиус вписанной окружности.