А4. Какой угол образует линия LM с плоскостью LKN? Варианты ответов: 1) угол LMN, 2) угол MLL, 3) угол LML, 4) угол

LKN. Инструкция: Для вычисления угла между линией и плоскостью, нам нужно знать, какая линия пересекает данную плоскость. В данном случае линия LM пересекает плоскость LKN. Угол между линией и плоскостью можно определить как угол между направляющим вектором линии и нормалью плоскости. Направляющим вектором линии LM является вектор, направленный от точки L к точке M. Нормалью плоскости LKN является вектор, перпендикулярный плоскости, и направленный вверх или вниз от нее. Угол между двумя векторами можно вычислить с помощью скалярного произведения этих векторов, разделенного на произведение их модулей. Итак, чтобы определить угол между линией LM и плоскостью LKN, мы должны найти вектор линии LM и вектор нормали плоскости LKN, затем вычислить скалярное произведение этих векторов и разделить его на произведение их модулей.

Пример: Допустим, координаты точки L равны (1, 2, 3), а координаты точки M равны (4, 5, 6). Координаты точки K равны (7, 8, 9), а координаты точки N равны (10, 11, 12). Чтобы найти угол между линией LM и плоскостью LKN, мы сначала найдем вектор линии LM, который равен вектору направления от точки L к точке M: LM = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3). Затем мы найдем вектор нормали плоскости LKN, который можно получить путем вычисления векторного произведения двух векторов, находящихся в плоскости LKN: LN = (10-7, 11-8, 12-9) = (3, 3, 3). Теперь вычисляем скалярное произведение векторов LM и LN, а затем делим его на произведение модулей векторов: cos(θ) = (3*3 + 3*3 + 3*3) / (sqrt(3*3+3*3+3*3) * sqrt(3*3+3*3+3*3)) = 27 / (3 * 3 * sqrt(3+3+3) * sqrt(3+3+3)) = 27 / (9 * sqrt(27)) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3. Таким образом, угол между линией LM и плоскостью LKN равен arccos(sqrt(3)/3) = pi/6.

Совет: Для лучшего понимания концепции углов между линиями и плоскостями рекомендуется также изучить геометрию трехмерного пространства и практиковать решение подобных задач.

Задание: Найдите угол между линией AB и плоскостью ABC, где A(1, -2, 3), B(4, 5, -6), C(7, 8, 9).