2. Точки K(-2; 1) и L(5; -6) даны. Найдите: а) координаты точки M, которая делит отрезок KL в отношении 2:5

Тема урока: Координаты точек, делящих отрезок в заданном отношении

Описание: Для нахождения координат точек, которые делят отрезок KL в заданном отношении, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок внутренним делением.

а) Чтобы найти координаты точки M, которая делит отрезок KL в отношении 2:5, мы можем использовать формулу:
xm = (5 * xk + 2 * xl) / (2 + 5),
ym = (5 * yk + 2 * yl) / (2 + 5),
где (xk, yk) и (xl, yl) - координаты точек K и L соответственно, а (xm, ym) - координаты точки M.

Подставляя значение xk = -2, yk = 1, xl = 5 и yl = -6 в формулу, получим:
xm = (5 * (-2) + 2 * 5) / (2 + 5) = (-10 + 10) / 7 = 0 / 7 = 0,
ym = (5 * 1 + 2 * (-6)) / (2 + 5) = (5 - 12) / 7 = -7 / 7 = -1.

Таким образом, координаты точки M равны (0, -1).

б) Чтобы найти координаты точки N, которая делит отрезок KL в отношении 5:2, используем ту же формулу:
xn = (2 * xk + 5 * xl) / (2 + 5),
yn = (2 * yk + 5 * yl) / (2 + 5).

Подставляя значения xk = -2, yk = 1, xl = 5 и yl = -6 в формулу, получим:
xn = (2 * (-2) + 5 * 5) / (2 + 5) = (-4 + 25) / 7 = 21 / 7 = 3,
yn = (2 * 1 + 5 * (-6)) / (2 + 5) = (2 - 30) / 7 = -28 / 7 = -4.

Таким образом, координаты точки N равны (3, -4).

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить эту тему, можно использовать графическое представление и построить отрезок KL на координатной плоскости. Затем можно использовать формулы для нахождения координат точек M и N, чтобы проверить правильность своего решения.

Практика: Найдите координаты точек P и Q, которые делят отрезок KL в отношении 3:7.

Тема: Разделение отрезка в заданном отношении

Описание: Чтобы найти координаты точки M, которая делит отрезок KL в отношении 2:5, мы должны использовать формулу для нахождения точки на отрезке с заданным отношением. Формула имеет вид:
\[M(x,y) = \left(\dfrac{5x_1 + 2x_2}{5+2}, \dfrac{5y_1 + 2y_2}{5+2}\right)\]
Где \(x_1, y_1\) - координаты точки K, а \(x_2, y_2\) - координаты точки L. Учитывая, что \(x_1 = -2\), \(y_1 = 1\), \(x_2 = 5\), \(y_2 = -6\), мы можем подставить эти значения в формулу и решить ее для координат точки М.

Аналогичным образом, чтобы найти координаты точки N, которая делит отрезок KL в отношении 3:4, мы используем ту же формулу:
\[N(x,y) = \left(\dfrac{4x_1 + 3x_2}{4+3}, \dfrac{4y_1 + 3y_2}{4+3}\right)\]
где \(x_1, y_1\) - координаты точки K, а \(x_2, y_2\) - координаты точки L. В этом случае, мы должны подставить значения, чтобы найти координаты точки N.

Демонстрация:
а) Для нахождения координат точки М, используем формулу:
\[M(x,y) = \left(\dfrac{5(-2) + 2(5)}{5+2}, \dfrac{5(1) + 2(-6)}{5+2}\right)\]
Решая это уравнение, получаем:
\[M(x, y) = \left(\dfrac{-5}{7}, \dfrac{-7}{7}\right)\]
А значит, координаты точки M равны: M\(\left(-\dfrac{5}{7}, -1\right)\)

б) Для нахождения координат точки Н, используем формулу:
\[N(x,y) = \left(\dfrac{4(-2) + 3(5)}{4+3}, \dfrac{4(1) + 3(-6)}{4+3}\right)\]
Решая это уравнение, получаем:
\[N(x, y) = \left(\dfrac{7}{7}, \dfrac{-15}{7}\right)\]
А значит, координаты точки N равны: N\(\left(1, -\dfrac{15}{7}\right)\).

Совет: Обратите внимание, что в формуле для нахождения точек M и N, сумма отношений в знаменателе составляет общую степень отношений (2+5 = 7 и 3+4=7). Используя эту формулу, мы можем найти точку, которая делит отрезок KL в заданном отношении.

Задание:
Найдите координаты точки P, которая делит отрезок KL в отношении 1:3. Координаты точек: K(-2; 1) и L(5; -6).