1. Возьмите правильный тетраэдр SABC. Сделайте рисунок. Определите: а) косинус угла между линией SA и плоскостью

Содержание: Геометрия. Косинус угла между линиями и плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между точками.

Разъяснение:
1. Для начала нарисуем тетраэдр SABC. При этом, чтобы определить косинус угла между линией SA и плоскостью ABC, нам понадобится найти высоту этого тетраэдра. Рассмотрим треугольник SAB. Длина ребра равна 8 см, значит, высота будет равна √2/3 от ребра (по свойствам равнобедренного треугольника). Теперь найдем косинус угла между SA и ABC: это будет отношение соседнего катета (высоты) к гипотенузе треугольника ABC. С учетом того, что гипотенуза равна √2/3 * 8 и высота равна √2/3 * 8/2, получаем, что косинус угла равен 1/√2 or √2/2.
Аналогично, чтобы определить косинус угла между плоскостями SVC и ABC, нам понадобится также вычислить высоту тетраэдра. Повернем тетраэдр SABC так, чтобы плоскость ABC стала вертикальной. Затем рассмотрим треугольник ABC и его основание SVC. Проведем высоту из вершины C. По свойствам прямоугольного треугольника находим высоту: √2/3 * 8/2 = 2√2 см. Теперь находим косинус угла между SVC и ABC, который будет отношением соседнего катета (высоты) к гипотенузе (ребру) треугольника ABC. Получаем косинус угла равный 2√2/8, или √2/√8, что можно упростить до √2/2.
2. У нас есть квадрат ABCD со стороной b. Проведена плоскость α через сторону BC на расстоянии b/3 от точки A. Так как у нас квадрат, то это расстояние также будет являться прямым расстоянием от точки D до плоскости α. Значит, расстояние равно b/3.
3. Для единичного куба АВСDA1B1C1D1 можно использовать трехмерную формулу расстояния между двумя точками в пространстве. Найдем расстояние между точками A и D. Координаты точки A (0,0,0) и D (1,1,1). Для нахождения расстояния используем формулу: d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2). В нашем случае это будет: d = √((1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2) = √3.

Совет:
При решении геометрических задач важно внимательно прочитать условие и нарисовать соответствующие фигуры. Используйте изученные свойства геометрических фигур и формулы для решения задач. Если вы столкнулись с трудностями, перечитайте учебник или обратитесь к учителю за помощью.

Задание для закрепления:
1. В тетраэдре SABC известно, что длина ребра равна 12 см. Найдите косинус угла между линией SA и плоскостью ABC.
2. В квадрате ABCD с длиной стороны 10 см, проведена плоскость α через точку C и находится на расстоянии 2 см от стороны AB. Найдите расстояние от точки D до плоскости α.
3. Найдите расстояние между точками A (2,3,4) и B (5,7,10) в трехмерном пространстве.