Радиусы вписанных окружностей в правильные многоугольники
1. В правильном шестиугольнике ABCDEF, у которого сторона равна 6 см, находится правильный треугольник A1B1C1. Найти
1. В правильном шестиугольнике ABCDEF, у которого сторона равна 6 см, находится правильный треугольник A1B1C1. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.
2. В правильном треугольнике MNP есть вписанная окружность. Отрезок NR пересекает отрезок MP в точке K таким образом, что он перпендикулярен MP. Если MR = 5√3 и угол KMR = 30°, найти радиус и длину вписанной окружности в треугольник MNP.
3. Ширина кольца, образованного двумя окружностями с общим центром, равна 3. Хорда большей окружности, проходящая через точку касания меньшей окружности, имеет длину 18. Найти радиусы обеих окружностей.
4. Отрезок AB имеет длину 7 и ортогонален отрезку CD, а отрезок AC имеет длину 3. Найти длину отрезка CD, если известно, что отрезки AB и AC являются диаметрами окружности с центром O.
2. В правильном треугольнике MNP есть вписанная окружность. Отрезок NR пересекает отрезок MP в точке K таким образом, что он перпендикулярен MP. Если MR = 5√3 и угол KMR = 30°, найти радиус и длину вписанной окружности в треугольник MNP.
3. Ширина кольца, образованного двумя окружностями с общим центром, равна 3. Хорда большей окружности, проходящая через точку касания меньшей окружности, имеет длину 18. Найти радиусы обеих окружностей.
4. Отрезок AB имеет длину 7 и ортогонален отрезку CD, а отрезок AC имеет длину 3. Найти длину отрезка CD, если известно, что отрезки AB и AC являются диаметрами окружности с центром O.
11.12.2023 06:32
Написать свой ответ:
Объяснение:
1. Воспользуемся свойством правильных треугольников и шестиугольников. В правильном треугольнике, вписанной окружность касается всех сторон треугольника в точках соприкосновения. Также в правильном шестиугольнике, вписанная окружность также касается всех его сторон в точках соприкосновения. Обозначим радиус окружности вписанной в треугольник A1B1C1 как r1, а радиус окружности вписанной в шестиугольник ABCDEF как r2. Так как сторона треугольника равна 6 см, то высота треугольника будет равна h = 6√3/2. Используя соотношение радиусов треугольников и шестиугольников, получаем отношение r1 к r2 равное sqrt(3)/3.
2. Обозначим радиус вписанной окружности в треугольник MNP как r. Угол KMR = 90°, потому что MR перпендикулярен MP. Также, учитывая, что треугольник MNP - правильный, получаем, что угол MNP = 30° и угол NPM = 30°. Так как внутренние углы треугольника суммарно равны 180°, то угол PMN = 120°. Для дальнейших вычислений обозначим длину вписанной окружности как L. Длина дуги MP равна L/3, потому что угол PMN = 120°. Также верно, что L/3 + L/3 + L/3 = L, поэтому L = 3L/3 = L. Также, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике KMR, получаем, что длина отрезка KM равна 10 см. Используя свойство соотношения радиуса и длины дуги, получаем r = L/2pi = KM/2 = 10/2 = 5 см.
3. В данной задаче, для нахождения радиуса и длины вписанной окружности в треугольник MNP, необходимо дополнительные данные о хорде большей окружности, проходящей через точку P.
Пример использования:
1. Задача 1: В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 6 см, найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.
Совет:
1. Для лучшего понимания таких задач, рекомендуется визуализировать фигуры и свойства, рисуя их на бумаге или используя геометрические программы. Это поможет визуально представить и решить задачу.
Упражнение:
1. В правильном пятиугольнике со стороной 8 см, найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в пятиугольник. (Ответ: sqrt(5)/5)