1) Підтвердіть, що трикутник АВС є рівностороннім, якщо координати вершин А(7; 1; -3), В(0; 8; -3), С(0; 1

Тема вопроса: Рівносторонній трикутник та прямокутний трикутник в тривимірному просторі.

Обгрунтування та розв"язання:

1) Для підтвердження, що трикутник ABC є рівностороннім, ми повинні перевірити, чи рівні всі сторони цього трикутника. Щоб обчислити довжини сторін трикутника, можна скористатися формулою відстані між двома точками у тривимірному просторі:

Довжина AB:
AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]
= √[(0 - 7)² + (8 - 1)² + (-3 - (-3))²]
= √[(-7)² + 7² + 0²]
= √[49 + 49 + 0]
= √[98]
≈ 9.90

Довжина AC:
AC = √[(x3 - x1)² + (y3 - y1)² + (z3 - z1)²]
= √[(0 - 7)² + (1 - 1)² + (4 - (-3))²]
= √[(-7)² + 0² + 7²]
= √[49 + 0 + 49]
= √[98]
≈ 9.90

Довжина BC:
BC = √[(x3 - x2)² + (y3 - y2)² + (z3 - z2)²]
= √[(0 - 0)² + (1 - 8)² + (4 - (-3))²]
= √[0² + (-7)² + 7²]
= √[0 + 49 + 49]
= √[98]
≈ 9.90

Так як AB = AC = BC ≈ 9.90, то ми можемо стверджувати, що трикутник ABC є рівностороннім.

2) Для підтвердження, що трикутник з вершинами А(-2; 6; -3), В(2; -2; 5), С(0; -4; 1) є прямокутним, ми можемо використати властивість взаємно перпендикулярних векторів: якщо вектори двох сторін трикутника будуть перпендикулярні, то трикутник є прямокутним.

Вектор AB = (2 - (-2); -2 - 6; 5 - (-3)) = (4; -8; 8)
Вектор BC = (0 - 2; -4 - (-2); 1 - 5) = (-2; -2; -4)

Скалярний добуток векторів AB та BC:
AB · BC = (4 · (-2)) + (-8 · (-2)) + (8 · (-4))
= (-8) + 16 + (-32)
= -24

Так як скалярний добуток AB · BC дорівнює 0, то вектори AB та BC є перпендикулярними. Отже, трикутник з вершинами А(-2; 6; -3), В(2; -2; 5), С(0; -4; 1) є прямокутним.

Довжина гіпотенузи трикутника ABC:
AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]
= √[(2 - (-2))² + ((-2) - 6)² + (5 - (-3))²]
= √[(4)² + (-8)² + (8)²]
= √[16 + 64 + 64]
= √[144]
= 12

Отже, довжина гіпотенузи трикутника з вершинами А(-2; 6; -3), В(2; -2; 5), С(0; -4; 1) дорівнює 12.

Рекомендації:
- Для розуміння і здійснення таких обчислень важливо розуміти формули відстані між двома точками в тривимірному просторі та скалярного добутку векторів.
- Уважно працюйте з координатами вершин та будьте уважні при виконанні обчислень.

Вправа:
Обчисліть довжину сторони трикутника з вершинами А(4; -2; 1), В(5; 6; -3), С(-1; 0; 2).