1. Описанный около шара прямоугольный параллелепипед имеет объем 30. Чему равно отношение объема шара к числу

Тема занятия: Тела в пространстве
Инструкция:
1. Пусть радиус шара равен r, а стороны прямоугольного параллелепипеда равны a, b и c. Объем прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: V = abc. Так как объем параллелепипеда равен 30, имеем уравнение: abc = 30.
Также известно, что объем шара равен V = (4/3)πr^3. Наша задача - найти отношение V (объема шара) к числу п (π).
Раскроем скобки в формуле для объема шара и затем разделим обе части уравнения на число п (π):
(4/3)πr^3 = 30/π,
4r^3 = 30/π * 3/4,
r^3 = 90/π,
r = (90/π)^(1/3).
Ответ: отношение объема шара к числу п (π) равно (90/π)^(1/3).

2. Пусть вершина куба с ребром 1 является центром шара радиуса r. Нам нужно найти площадь части поверхности шара, находящейся внутри куба.
Заметим, что данная площадь состоит из двух частей: площади полусферы и площади сферической капли. Площадь полусферы можно найти по формуле: S1 = 2πr^2. Площадь сферической капли можно найти как разность площадей сферы и полусферы: S2 = 4πr^2 - 2πr^2 = 2πr^2.
Зная, что радиус шара равен 0.8, мы можем подставить его в формулы:
S1 = 2π(0.8)^2 = 1.28π,
S2 = 2π(0.8)^2 = 1.28π.
Площадь S части поверхности шара, находящейся внутри куба, равна сумме площадей полусферы и сферической капли: S = S1 + S2 = 1.28π + 1.28π = 2.56π.
Ответ: площадь S части поверхности шара, находящейся внутри куба, равна 2.56π.

Совет: Чтобы лучше понять эти задачи, рекомендуется вспомнить формулы для объема параллелепипеда и шара, а также площади поверхности полусферы и сферической капли.

Закрепляющее упражнение: Найдите объем тетраэдра, у которого все ребра равны 3 см.