1. Найдите скалярное произведение векторов AB*AC, CD*D1D, AB1*DC1, B1A*B1C, AC1*AC для куба с ребром 2. 2. Предоставьте

Скалярное произведение векторов:
1. Для нахождения скалярного произведения векторов AB и AC, мы умножаем соответствующие компоненты векторов и складываем полученные произведения.
В данном случае, AB = AB1 + BC + CA, AC = AC1 + CD + DA.
AB = (2-0) + (0-0) + (2-0) = 4, AC = (2-0) + (0-0) + (0-0) = 2.
Скалярное произведение AB*AC = 4 * 2 = 8.

2. Для доказательства перпендикулярности векторов a и b необходимо убедиться, что их скалярное произведение равно нулю.
Рассчитаем скалярное произведение:
a * b = (4 * 7) + (5 * (-8)) + (-2 * (-6)) = 28 - 40 + 12 = 0.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы а и б перпендикулярны друг другу.

3. Для определения cos угла между векторами (a, b) используем формулу:
cos(α) = (a * b) / (|a| * |b|),
где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.
Длина вектора a: |a| = sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(9) = 3,
Длина вектора b: |b| = sqrt(4^2 + 0^2 + (-3)^2) = sqrt(25) = 5.
Подставим значения в формулу: cos(α) = ((1 * 4) + (2 * 0) + (2 * (-3))) / (3 * 5) = (4 - 6) / 15 = -2/15.

4. Для нахождения векторного произведения векторов a и b используем правило правой руки или формулу:
a x b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1).
В данном случае, a х b = (2*(-3) - 2*0, 2*4 - 1*(-3), 1*0 - 2*4) = (-6, 11, -8).

Ещё задача:
1. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC, если A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3).
2. Докажите, что вектор a(3, 2, -1) перпендикулярен вектору b(2, -4, 6).
3. Найдите cos угла между векторами (a, b), если a(2, 1, 3) и b(-1, 2, 1).
4. Найдите векторное произведение a x b, если a(1, -2, 0) и b(3, 2, 4).