1. Найдите координаты центра окружности и длину ее радиуса, если точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами

Тема занятия: Геометрия в пространстве

Пояснение:

1. Чтобы найти центр окружности, необходимо найти середину отрезка AB, так как AB - диаметр окружности. Для этого используем формулу середины отрезка:
x = (x₁ + x₂) / 2
y = (y₁ + y₂) / 2
z = (z₁ + z₂) / 2
В данном случае, центр окружности будет иметь координаты (-0.5, 1, 1).
Длина радиуса будет равна половине длины диаметра, то есть:
d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
r = d / 2

2. Для нахождения длины вектора АС - СВ, выполняем вычитание векторов AC и BV:
AC = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
BV = (x₄ - x₃, y₄ - y₃, z₄ - z₃)
AC - BV = (x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃)
Затем находим длину вектора AC - BV с помощью формулы:
|AC - BV| = sqrt((x₂ - x₁ - x₄ + x₃)² + (y₂ - y₁ - y₄ + y₃)² + (z₂ - z₁ - z₄ + z₃)²)

3. Для нахождения угла между векторами АВ и СД используем формулу скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (AB · CD) / (|AB| * |CD|)
Где AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
CD = (x₄ - x₃, y₄ - y₃, z₄ - z₃).
Угол между векторами AB и CD равен арккосинусу cos(θ).

4. Чтобы найти уравнение сферы с центром в точке O и проходящей через точку M, используем формулу сферы:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r²
где (x₀, y₀, z₀) - координаты центра сферы и r - радиус сферы. Подставляем значения и получаем уравнение сферы.

5. Чтобы найти значения m, при которых угол между векторами а и b будет острым, тупым или прямым, используем формулу скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)
Где a = (4, 1, -2)
b = (3, m, 2)
Для острого угла между векторами, значение выражения (a · b) должно быть положительным;
для тупого угла значение выражения (a · b) должно быть отрицательным;
для прямого угла значение выражения (a · b) равно нулю.

Например:
1. Для нахождения координат центра окружности и длины радиуса вставьте заданные значения точек А и В в формулы, описанные выше.
2. Чтобы найти длину вектора АС - СВ, вставьте значения координат точек A, B и C в формулу и рассчитайте.
3. Чтобы найти угол между векторами АВ и СД, вставьте значения координат точек A, B, C и D в формулу и рассчитайте угол.
4. Чтобы найти уравнение сферы, вставьте значения координат точек О и М в формулу и рассчитайте уравнение.
5. Чтобы найти значения m, вставьте значения компонент векторов а и b в формулу и решите соответствующее выражение для острого, тупого и прямого углов.

Совет:
- Перед решением задач, убедитесь, что вы хорошо понимаете концепции и формулы, связанные с геометрией в пространстве.
- Тщательно проводите вычисления, чтобы избежать ошибок в ответах.
- Если возникают затруднения, обратитесь к учебнику по данной теме или проконсультируйтесь с учителем.

Задача на проверку:
1. Найдите координаты центра окружности и длину ее радиуса, если точки А(3; -2; 1) и В(1; 2; -3) являются концами диаметра.
2. Найдите длину вектора АС - СВ, если даны точки А(-1; 5; 3), В(2; 1; 0), С(4; -3; 2).
3. Найдите угол между векторами АВ и СД, если даны точки А(4; -7; 2), В(3; -5; 1), С(-1; 1; -4), D(-3; 0; -2).
4. Найдите уравнение сферы с центром в точке О (-2; 3; -1), проходящей через точку М( 0; 4; -5).
5. Определите значения m, при которых угол между векторами а(2; -1; 3) и b(1; m; -2) является: а)острым; б)тупым; в)прямым.

Тема занятия: Геометрия в пространстве

Описание:

1. Чтобы найти центр и радиус окружности, используем формулу центра окружности, которая является серединой отрезка между точками А и В. Центр окружности будет равен среднему значению координат точек А и В, то есть ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2). Радиус окружности равен половине длины диаметра, поэтому находим длину диаметра с помощью формулы расстояния между точками.

2. Чтобы найти длину вектора АС - СВ, вычитаем координаты вектора ВС из вектора АС. Длина вектора равна квадратному корню суммы квадратов его компонентов.

3. Для определения угла между векторами АВ и СД используем формулу cosθ = (АВ * СД) / (|АВ| * |СД|), где АВ - скалярное произведение векторов, а |АВ| и |СД| - длины векторов. Затем можно найти угол θ, используя обратный косинус (арккосинус) функции.

4. Чтобы найти уравнение сферы с центром в точке О и проходящей через точку М, используем формулу (x - х₀)² + (y - у₀)² + (z - z₀)² = r², где х₀, у₀, z₀ - координаты центра точки О, r - радиус сферы. Подставляем значения координат точки М в уравнение и находим значение радиуса сферы.

5. Чтобы определить значения m, при которых угол между векторами а и b является острым, тупым или прямым, используем формулу cosθ = (а * b) / (|а| * |b|), где а - скалярное произведение векторов, |а| и |b| - длины векторов. Исследуем различные значения m, чтобы найти углы, которые соответствуют острым, тупым или прямым углам.

Пример:
1. Задача: Найдите координаты центра окружности и длину ее радиуса, если точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра.
Ответ: Центр окружности: (0, 1, 1); Радиус окружности: √18.

Совет: Для решения задач по геометрии в пространстве полезно использовать формулы расстояний, скалярных произведений векторов и тригонометрии. Важно быть внимательным при вычислениях и проверять свои ответы.

Проверочное упражнение: Найдите длину вектора DE, если даны точки D(2;-3;1) и E(4;2;-5).