1. Найдите длину отрезка mn и определите координаты его середины, если m (-4; 3) и n (6; -5). 2. Найдите уравнение

Предмет вопроса: Координатная геометрия

1. Пояснение: Чтобы найти длину отрезка mn, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в двумерном пространстве. Формула выглядит следующим образом: \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек m и n соответственно. В нашем случае, \(x_1 = -4\), \(y_1 = 3\), \(x_2 = 6\) и \(y_2 = -5\). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем: \(\sqrt{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}\). Чтобы найти координаты середины отрезка mn, мы можем использовать формулы: \(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\) и \(y = \frac{y_1 + y_2}{2}\). Подставляя значения, мы получаем \(x = \frac{-4 + 6}{2} = 1\) и \(y = \frac{3 + (-5)}{2} = -1\). Таким образом, длина отрезка mn равна \(2\sqrt{41}\), а его середина имеет координаты (1, -1).

Например: Найдите длину отрезка pq и определите координаты его середины, если p (-2; 5) и q (3; -7).

Совет: При работе с координатной геометрией важно внимательно следить за знаками и правильно применять формулы расстояния и вычисления координат.

Ещё задача: Найдите длину отрезка rs и определите координаты его середины, если r (4; -1) и s (-6; 8).

1. Длина отрезка и координаты его середины:
Пусть координаты точки M равны (-4, 3), а координаты точки N равны (6, -5).
Для определения длины отрезка MN, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²),
где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек.

Используя данную формулу, расчитаем длину отрезка MN:
d = √((6 - (-4))² + (-5 - 3)²)
= √(10² + (-8)²)
= √(100 + 64)
= √(164)
= 2√(41) (длина отрезка)

Чтобы определить координаты середины отрезка MN, используем среднее арифметическое координат концов отрезка. Таким образом, координаты середины отрезка будут:
x = (x₁ + x₂)/2 = (-4 + 6)/2 = 1,
y = (y₁ + y₂)/2 = (3 + (-5))/2 = -1.
Следовательно, середина отрезка MN имеет координаты (1, -1).

2. Уравнение окружности:
Пусть координаты центра окружности F равны (3, -2), а координаты точки N равны (5, -9).
Уравнение окружности можно записать в следующем виде:
(x - h)² + (y - k)² = r²,
где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Зная координаты центра и проходящей через точку N, мы можем вычислить радиус окружности, используя формулу расстояния:
r = √((x - h)² + (y - k)²).

Подставим данные в формулу:
r = √((5 - 3)² + (-9 - (-2))²)
= √(2² + (-7)²)
= √(4 + 49)
= √(53).

Таким образом, уравнение окружности будет:
(x - 3)² + (y + 2)² = 53.

3. Координаты вершины C параллелограмма ABCD:
Пусть координаты точки A равны (-3, 3), координаты точки B равны (-1, 4), а координаты точки D равны (8, 1).
Чтобы найти координаты вершины C параллелограмма, можно воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Таким образом, мы можем найти координаты вершины C, применив следующую формулу:
C(x, y) = B(x, y) + D(x, y) - A(x, y).

Подставим значения координат точек в формулу:
C(x, y) = (-1, 4) + (8, 1) - (-3, 3)
= (-1 + 8 + 3, 4 + 1 - 3)
= (10, 2).

Следовательно, координаты вершины C равны (10, 2).

4. Уравнение прямой:
Пусть координаты точки D равны (3, -4), а координаты точки B равны (5, 8).
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через эти точки, нужно использовать формулу уравнения прямой в точечной форме:
(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁),
где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек.

Подставим значения известных точек в формулу:
(y - (-4))/(8 - (-4)) = (x - 3)/(5 - 3).

Упростим уравнение:
(y + 4)/12 = (x - 3)/2.

Теперь умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателя:
12(y + 4) = 12/2(x - 3),
12y + 48 = 6(x - 3),
12y + 48 = 6x - 18.

Упростим уравнение:
12y - 6x = -66.

Таким образом, уравнение прямой будет 6x - 12y = 66.

5. Координаты точки на оси абсцисс:
Пусть координаты точки D равны (1, 10), а координаты точки K равны (7, 8).
Чтобы найти точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудаленную от точек D и K, нужно найти среднее арифметическое значения x-координат точек D и K.

Среднее арифметическое координат x у точек D и K равно:
(xD + xK)/2 = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4.

Таким образом, искомая точка будет иметь координаты (4, 0), так как она принадлежит оси абсцисс и находится на расстоянии 4 единиц от точек D и K.

6. Уравнение прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через центр окружности:
Пусть исходная прямая имеет уравнение y = -6x - 1, а центр окружности имеет координаты (h, k).
Учитывая, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон, у искомой прямой будет тот же наклонный коэффициент (-6).
Таким образом, уравнение искомой прямой будет иметь вид:
y = -6x + b.

Чтобы найти значение b, необходимо использовать координаты центра окружности. Для этого подставим координаты (h, k) в уравнение искомой прямой:
k = -6h + b.

Таким образом, уравнение искомой прямой будет:
y = -6x + (-6h + k).

Где (-6h + k) - значение b.