1. Каково расстояние от точки В(-3; 2; -4) до плоскости (YOZ)? 2. Каково расстояние от начала координат до точки

Тема: Расстояние и середина отрезка в трехмерном пространстве

Объяснение: Чтобы решить эти задачи, мы будем использовать формулы из геометрии трехмерного пространства. Для нахождения расстояния от точки до плоскости и от начала координат до точки мы воспользуемся формулой расстояния между точками в трехмерном пространстве. Для нахождения середины отрезка мы будем использовать формулу средней точки от двух точек.

1. Для нахождения расстояния от точки B(-3; 2; -4) до плоскости (YOZ), мы можем использовать формулу расстояния между точкой и плоскостью. Пусть точка P(x, y, z) - произвольная точка на плоскости (YOZ). Тогда расстояние d от точки B до плоскости (YOZ) может быть вычислено по формуле d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости (YOZ).

2. Чтобы найти расстояние от начала координат до точки B(3; 0; -4), мы также можем использовать формулу расстояния между точками. Расстояние d будет равно sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) - координаты начала координат, а (x2, y2, z2) - координаты точки B.

3. Для нахождения координат середины отрезка между точками A(-3; 2; -4) и B(1; -4; 2), мы можем использовать формулу средней точки между двумя точками. Координаты середины точки M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2), где (x1, y1, z1) - координаты точки A, а (x2, y2, z2) - координаты точки B.

4. Чтобы найти длину вектора соединяющего точки A(-3; 2; -4) и B(1; -4; 2), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками. Длина вектора будет равна sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) - координаты точки A, а (x2, y2, z2) - координаты точки B.

Пример использования:
1. Расстояние от точки B(-3; 2; -4) до плоскости (YOZ):
- Формула: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
- Пусть А = 1, B = 0, C = 0, D = 0 (уравнение плоскости (YOZ))
- Подставляем значения: d = |1*(-3) + 0*2 + 0*(-4) + 0| / sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2)
- Вычисляем: d = |-3| / 1 = 3

2. Расстояние от начала координат до точки B(3; 0; -4):
- Формула: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
- Подставляем значения: d = sqrt((3 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (-4 - 0)^2)
- Вычисляем: d = sqrt(9 + 0 + 16) = sqrt(25) = 5

3. Координаты середины отрезка между точками A(-3; 2; -4) и B(1; -4; 2):
- Формула: M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)
- Подставляем значения: M(((-3) + 1) / 2, (2 + (-4)) / 2, ((-4) + 2) / 2)
- Вычисляем: M((-2) / 2, (-2) / 2, (-2) / 2) = (-1, -1, -1)

4. Длина вектора соединяющего точки A(-3; 2; -4) и B(1; -4; 2):
- Формула: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
- Подставляем значения: d = sqrt((1 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2 + (2 - (-4))^2)
- Вычисляем: d = sqrt((4)^2 + (-6)^2 + (6)^2) = sqrt(16 + 36 + 36) = sqrt(88) ≈ 9.38

Совет: Для более легкого понимания трехмерной геометрии, рекомендуется визуализировать точки, плоскости и векторы на графиках или использовать трехмерные модели.

Упражнение: Найдите расстояние от точки С(2; -1; 3) до плоскости (XOY).