1) Какова площадь боковой поверхности призмы с основанием равным 8 см и описанным вокруг него шаром с радиусом

Тема вопроса: Площадь боковой поверхности призмы и цилиндра. Радиусы шаров внутри геометрических фигур.

1) Площадь боковой поверхности призмы с основанием равным 8 см, описанной вокруг шара с радиусом - 9 см:

Изначально, давайте рассчитаем площадь боковой поверхности призмы. Формула для расчета площади боковой поверхности призмы - это периметр основания, умноженный на высоту призмы. В данном случае, основание призмы - это круг с радиусом 8 см, его периметр будет равен 2π * 8 (так как периметр круга равен 2π * радиус). Теперь, рассчитаем площадь боковой поверхности призмы: S = 2π * 8 * h.

Далее, шар с радиусом 9 см описывает это основание. Это значит, что высота (h) призмы - это диаметр шара, который равен 2 * 9 = 18 см. Подставляем значение в формулу для площади боковой поверхности призмы:

S = 2π * 8 * 18 = 288π см²

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 288π см².

2) Радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду:

Дано, что радиус окружности, описанной около основания пирамиды, составляет 12π см. Радиус описанной окружности - это ребро пирамиды (r₀). Также, двугранный угол, образуемый ребром основания пирамиды, равен 45°.

В правильной шестиугольной пирамиде общая сумма углов основания равна 720°. Таким образом, каждый угол в вершине шестиугольника основания будет равен 720° / 6 = 120°. Известно, что ребро основания составляет угол 45° с горизонтальной плоскостью, и такой же угол будет между ребром основания и ребром пирамиды (угол между r₀ и r). Разница между углами в вершине и углом между ребрами пирамиды составляет 120° - 45° = 75°.

Рассмотрим правильный треугольник, в котором известны гипотенуза (12π) и один из острых углов (75°). Теперь, для рассчета радиуса шара, вписанного в этот треугольник, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Таким образом, тангенс угла 75° будет равен противолежащему катету (r₀) к прилежащему катету (r).

Тангенс 75° = r₀ / r

Теперь, найдем r₀. Так как ребро основания равно 12π см и оно является гипотенузой прямоугольного треугольника, мы можем рассчитать противолежащий катет:

tg 75° = r₀ / 12π

r₀ = tg 75° * 12π

Найденное значение r₀ будет равно радиусу шара, вписанного в шестиугольную пирамиду.

3) Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в шар с радиусом 7 см, если высота цилиндра равна диаметру его основания:

Дано, что высота цилиндра равна диаметру его основания. Это означает, что высота (h) цилиндра будет равна радиусу шара (r), так как диаметр основания цилиндра составляет 2r.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно рассчитать по формуле: S = 2πrh. В данном случае, радиус шара равен 7 см. Подставляем известные значения в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:

S = 2π * 7 * 7 = 98π см²

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 98π см².

Совет: Чтобы лучше понять эти геометрические фигуры, рекомендуется изучать основные формулы и формулы для площади и объема каждой фигуры. Понимание основных концепций и связей между ними поможет легче решать подобные задачи геометрии.

Задача на проверку: Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, если длина ребра основания пирамиды составляет 15 см, а ее высота равна 10 см.