1. Какова площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды, если ее основание - квадрат со стороной 24 см

1. Площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для площади боковой поверхности пирамиды:

\[S_{бп} = P \times h\]

где \(S_{бп}\) - площадь боковой поверхности, \(P\) - периметр основания, \(h\) - высота боковой грани.

Основание пирамиды - квадрат, со стороной 24 см, значит периметр можно найти по формуле:

\[P = 4 \times a\]

где \(a\) - длина стороны квадрата.

Расчет периметра будет следующим:

\[P = 4 \times 24 = 96 \: \text{см}\]

Теперь нам нужно найти высоту боковой грани. У нас две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, поэтому их высота будет равна стороне квадрата:

\[h = 24 \: \text{см}\]

Также, у нас есть две боковые грани, образующие двугранные углы, равные 45 градусам. Это означает, что у нас имеется два прямоугольных треугольника на боковых гранях пирамиды.

Таким образом, площадь одной боковой грани равна:

\[S_{бп} = \frac{1}{2} \times \text{сторона основания} \times \text{высота}\]

\[S_{бп} = \frac{1}{2} \times 24 \times 24 = 288 \: \text{см}^2\]

Ответ: Площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды равна 288 см².

2. Площадь грани правильной четырехугольной пирамиды

Для решения задачи нам нужно знать формулу для площади грани правильной четырехугольной пирамиды. В данном случае, такая формула есть и она выглядит следующим образом:

\[S_{гр} = \frac{a \times h}{2}\]

где \(S_{гр}\) - площадь грани, \(a\) - длина стороны основания, \(h\) - высота грани.

Из условия задачи мы знаем, что наклон каждой грани под углом 60 градусов относительно основания. Это означает, что высота грани равна:

\[h = \frac{a \times \sqrt{3}}{2}\]

Теперь мы можем составить формулу для площади грани:

\[S_{гр} = \frac{a \times \frac{a \times \sqrt{3}}{2}}{2}\]

\[S_{гр} = \frac{a^2 \times \sqrt{3}}{4}\]

Ответ: Площадь грани правильной четырехугольной пирамиды равна \(\frac{a^2 \times \sqrt{3}}{4}\)