1. Как найти линейную комбинацию векторов AB, BC и CD? 2. Как найти длины векторов AB, BC и CD? 3. Как найти косинусы

Линейная комбинация векторов:
Линейная комбинация векторов AB, BC и CD представляет собой сумму этих векторов, умноженных на некоторые скаляры. Если заданы векторы AB = B - A, BC = C - B и CD = D - C, то их линейная комбинация будет выглядеть следующим образом:
Линейная комбинация AB, BC и CD = a * AB + b * BC + c * CD,
где a, b и c - скаляры, которые нужно определить.

Длины векторов:
Длина вектора вычисляется с использованием формулы длины вектора ||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + v3^2), где v1, v2 и v3 - компоненты вектора в заданной системе координат. Для векторов AB, BC и CD выражения для вычисления их длин будут следующими:
Длина вектора AB = sqrt((7-1)^2 + (4-0)^2 + (3-1)^2),
Длина вектора BC = sqrt((3-7)^2 + (-5-4)^2 + (1-3)^2),
Длина вектора CD = sqrt((-2-3)^2 + ([данные пропущены])^2 + ([данные пропущены])^2).

Косинусы углов между векторами:
Косинус угла между векторами вычисляется с использованием формулы косинуса угла между двумя векторами: cos(theta) = (v1 * w1 + v2 * w2 + v3 * w3) / (||v|| * ||w||), где v и w - векторы, а v1, v2, v3 и w1, w2, w3 - их компоненты. Для векторов AB и BC, а также BC и CD, выражения для вычисления косинусов углов будут следующими:
Косинус угла между векторами AB и BC = ((7-1)*(3-7) + (4-0)*(-5-4) + (3-1)*(1-3)) / (длина вектора AB * длина вектора BC),
Косинус угла между векторами BC и CD = (...).

Значение выражения (AB + CD)·AD:
Для нахождения значения этого выражения нужно выполнить следующие действия:
1. Вычислить вектор AB + CD, прибавив к компонентам вектора AB соответствующие компоненты вектора CD.
2. Вычислить скалярное произведение полученного вектора (AB + CD) и вектора AD, умножив соответствующие компоненты и сложив результаты.

Произведение скаляров BD и AC, умноженное на вектор AB:
Для вычисления этого выражения нужно выполнить следующие действия:
1. Умножить скаляры BD и AC.
2. Перемножить полученное произведение скаляров и вектор AB, умножив каждую компоненту вектора AB на полученное произведение скаляров.

Определение коллинеарности векторов AB и CD:
Два вектора считаются коллинеарными, если один вектор является скалярным произведением другого вектора и скаляра. Для определения коллинеарности векторов AB и CD нужно проверить, существует ли такой скаляр k, что CD = k * AB. Для этого нужно сравнить соответствующие компоненты векторов CD и AB, и если они пропорциональны с некоторым коэффициентом k, то векторы коллинеарны.

Определение ортогональности векторов AB и CD:
Два вектора считаются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Для определения ортогональности векторов AB и CD нужно вычислить их скалярное произведение и проверить, равно ли оно нулю.
Надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, как решить задачи, связанные с линейной комбинацией векторов, и другие задачи, которые вы представили.
Желаю успехов вам в учебе!

Закрепляющее упражнение:
1. Вычислите линейную комбинацию векторов AB, BC и CD, если скаляры равны a = 2, b = -1, c = 3.
2. Вычислите длины векторов AB, BC и CD.
3. Найдите косинусы углов между векторами AB и BC, а также BC и CD.
4. Найдите значение выражения (AB + CD)·AD, если AD = (1; -2; 4).
5. Вычислите произведение скаляров BD и AC, умноженное на вектор AB, если BD = 3 и AC = (2; 1; -3).
6. Определите, являются ли векторы AB и CD коллинеарными.
7. Определите, являются ли векторы AB и CD ортогональными.