1) Если касается двух окружностей, обозначенных как о1 и о2, с точкой касания в точке а так, что о1а=5 и о2а=2

Предмет вопроса: Углы в окружности и связанные с ними длины отрезков

Инструкция:
1) Чтобы найти угол между линиями о1а и о1о2, мы можем использовать свойство, что угол, образованный хордой и соответствующей касательной к окружности в точке касания, равен половине угла, открываемого этой хордой на дуге окружности. Таким образом, угол между линиями о1а и о1о2 будет равен половине угла о1о2а.
В данной задаче о1о2а образует прямоугольный треугольник, поскольку о1а и о2а являются радиусами окружностей о1 и о2 соответственно. Так как о1а = 5 и о2а = 2, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину о1о2. Длина о1о2 = √(о1а^2 - о2а^2) = √(5^2 - 2^2) = √21.
Теперь мы можем найти угол между линиями о1а и о1о2: угол о1о2а = arctg(2/√21).
Аналогично, угол между линиями о1о2 и о2а будет равен углу о2о1а, который можно найти как arctg(5/√21).

2) Чтобы найти насколько уменьшилась длина хорды ab, воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, произведение длин отрезков хорды, полученных в результате пересечения секущих, равно постоянной величине. В данном случае, длина хорды ab до увеличения расстояния oh равна r * 2 = 10 * 2 = 20. С увеличением расстояния oh с 6 до 9, хорда ab уменьшилась на величину разницы расстояний, то есть на 9 - 6 = 3. Таким образом, длина хорды ab после уменьшения составляет 20 - 3 = 17.

Пример:
1) Угол между линиями о1а и о1о2:
- Длина о1а = 5
- Длина о2а = 2
- Длина о1о2 = √(5^2 - 2^2) = √21
- Угол о1о2а = arctg(2/√21)
- Ответ: Угол между линиями о1а и о1о2 равен arctg(2/√21).

2) Длина хорды ab после уменьшения:
- Расстояние oh до хорды до увеличения = 6
- Расстояние oh до хорды после увеличения = 9
- Разница длин хорды = Расстояние oh после увеличения - Расстояние oh до увеличения = 9 - 6 = 3
- Длина хорды ab после уменьшения = Длина хорды до увеличения - Разница длин хорды = 20 - 3 = 17
- Ответ: Длина хорды ab после уменьшения равна 17.

Совет: Для понимания углов в окружности рекомендуется изучить основные свойства окружностей и регулярно практиковаться в решении подобных задач. Также полезно ознакомиться с основными тригонометрическими функциями, такими как тангенс и арктангенс, которые используются для нахождения углов.

Упражнение:
1) В окружности с центром о и радиусом r проведена хорда cd. Если расстояние от центра до хорды равно половине длины хорды cd, найдите угол, образуемый хордой cd и касательной к окружности в точке её касания с хордой.