1.227. Две прямые, сходящиеся в точке c, прикасаются к окружности в точках a и b. Если угол ∠acb = 120°, покажите

Предмет вопроса: Геометрия. Теорема о касательной и хорде окружности.

Разъяснение: Дана окружность с центром в точке с. Пусть две прямые, проходящие через точку c, касаются окружности в точках a и b. Угол между линиями ac и bc равен 120°. Нам нужно показать, что сумма длин отрезков ac и bc равна длине отрезка ab.

Для начала, заметим, что поскольку прямые ac и bc являются касательными к окружности, то они перпендикулярны к радиусам, проведенным к точкам касания a и b. Таким образом, ∠c = 90°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник abc. Угол acb равен 120°, а угол c равен 90°. Таким образом, сумма углов acb и c равна 210°.

По теореме о сумме углов треугольника, сумма всех углов треугольника равна 180°. Но у нас получается 210°. Это означает, что треугольник abc вырожденный и на самом деле точки a, b и c лежат на одной прямой.

Таким образом, отрезки ac и bc являются смежными сторонами вырожденного треугольника, а отрезок ab является его третьей, вырожденной стороной. В вырожденном треугольнике сумма длин смежных сторон всегда равна длине третьей стороны, поэтому сумма длин отрезков ac и bc действительно равна длине отрезка ab.

Пример: Рассмотрим прямые ac и bc, которые касаются окружности в точках a и b соответственно. Если угол ∠acb равен 120°, то покажите, что сумма длин отрезков ac и bc равна длине отрезка ab.

Совет: Для понимания этой задачи полезно рассмотреть свойства касательных к окружности и применить теорему о сумме углов треугольника.

Практика: В окружности с радиусом 5 см проведены две касательные. Расстояние между точками касания равно 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего точки касания.