При каком значении у угол между векторами а(4; -7) и b(3; у) является острым? При каком значении у угол между векторами

Суть вопроса: Угол между векторами

Разъяснение: Чтобы определить тип угла между векторами а и b, мы можем использовать следующее свойство скалярного произведения. Для двух векторов a(x₁, y₁) и b(x₂, y₂), скалярное произведение равно: a · b = x₁ * x₂ + y₁ * y₂.

1. Острый угол: Угол будет острым, если скалярное произведение a и b будет положительным и квадратное выражение sqrt(x₁² + y₁²) * sqrt(x₂² + y₂²) будет больше, чем скалярное произведение a и b: a · b > 0 и sqrt(x₁² + y₁²) * sqrt(x₂² + y₂²) > a · b.

2. Прямой угол: Угол будет прямым, если скалярное произведение a и b будет равно нулю: a · b = 0.

3. Тупой угол: Угол будет тупым, если скалярное произведение a и b будет отрицательным: a · b < 0.

Например: Для векторов a(4, -7) и b(3, у), чтобы угол был острым, мы должны убедиться, что a · b > 0 и sqrt(4² + (-7)²) * sqrt(3² + y²) > a · b. Мы можем подставить значения в уравнение и решить его, чтобы найти возможные значения y, при которых угол будет острым. Аналогично, для прямого угла a · b = 0, и для тупого угла a · b < 0.

Совет: Для лучшего понимания этого упражнения, рекомендуется рассмотреть геометрическую интерпретацию углов между векторами и скалярное произведение векторов.

Задание: При y = 2, является ли угол между векторами а(4, -7) и b(3, 2) острым, прямым или тупым?

Содержание: Угол между векторами

Описание: Чтобы найти угол между векторами a(4; -7) и b(3; у), нам понадобится использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos θ = (a · b) / (|a| * |b|),

где a · b представляет скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - их длины.

Угол острый, если cos θ > 0, прямой - если cos θ = 0, и тупой - если cos θ < 0.

1) Острый угол:
Вычислим скалярное произведение:

a · b = 4 * 3 + (-7) * у = 12 - 7у.

Вычислим длины векторов:

|a| = √(4^2 + (-7)^2) = √(16 + 49) = √65,
|b| = √(3^2 + у^2) = √(9 + у^2).

Теперь рассчитаем cos θ:

cos θ = (12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)).

Угол будет острым, если:

(12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)) > 0.

2) Прямой угол:
Угол будет прямым, если:

(12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)) = 0.

3) Тупой угол:
Угол будет тупым, если:

(12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)) < 0.

Демонстрация:
a(4; -7), b(3; у)
1) Острый угол: (12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)) > 0
2) Прямой угол: (12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)) = 0
3) Тупой угол: (12 - 7у) / (√65 * √(9 + у^2)) < 0

Совет: Для нахождения значения у, при котором угол между векторами становится острым, прямым или тупым, переставьте соответствующие неравенства и решите их относительно у. При решении квадратного корня учтите знак у, который зависит от выбранного типа угла (острый, прямой или тупой).

Закрепляющее упражнение: Найдите значение у, при котором угол между векторами a(2; 5) и b(4; у) становится острым.