Знайдіть значення виразу x² + 1/x², якщо відомо, що x + 1/x

Суть вопроса: Решение квадратных уравнений

Разъяснение: Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение выражения x² + 1/x² при известном значении x + 1/x. Для этого, давайте вначале выразим выражение x² + 1/x² через x + 1/x.

Мы можем представить x² + 1/x² в виде суммы квадратов двух дробей. Рассмотрим:

x² + 1/x² = ((x * x) * 1) / (x * x) + (1 * 1) / (x * x)
= (x * x + 1) / (x * x)

Теперь, у нас есть выражение x * x + 1 в числителе и x * x в знаменателе. Зная, что x + 1/x = k (где k - известное нам значение), мы можем записать:

k = x + 1/x

Перепишем это уравнение, чтобы избавиться от знаменателя:

k * x = x * x + 1

Перейдем к квадратному уравнению:

x * x - k * x + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить по формуле:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -k, и c = 1. Подставим эти значения и решим уравнение.

Пример использования: Пусть x + 1/x = 3. Найдите значение x² + 1/x².

Решение:
1. Представим x² + 1/x² в виде (x * x + 1) / (x * x).
2. Заменим x + 1/x на 3, получим выражение (3 * 3 + 1) / (3 * 3).
3. Вычислим: (9 + 1) / 9 = 10 / 9.
4. Ответ: Значение выражения x² + 1/x² равно 10 / 9.

Совет: Для успешного решения задач на квадратные уравнения, важно знать формулу и уметь преобразовывать выражения, чтобы свести их к квадратному уравнению. Также полезно знать, что у квадратного уравнения может быть два корня - один положительный и один отрицательный.

Упражнение: Пусть x + 1/x = 2. Найдите значение x² + 1/x².