Запишите формулой функцию f(g(x)), а затем найдите ее производную при условии, что f(y)=√1-y^2 и y=g(x)=cos x. Если

Тема урока: Производная композиции функций

Описание:
Для начала, нам нужно записать формулу функции f(g(x)) в соответствии с заданными условиями. Задана функция f(y) = √1-y^2 и функция y=g(x) = cos x.

Теперь, чтобы записать композицию функций в виде формулы, мы подставляем функцию g(x) вместо y в функцию f(y). Поэтому,

f(g(x)) = f(cos x).

Чтобы найти производную данной композиции функций, мы должны применить цепное правило дифференцирования.

Производная функции f(g(x)) по x выражается следующим образом:

(f(g(x)))" = f"(g(x)) * g"(x),

где f"(g(x)) обозначает производную функции f(g(x)), а g"(x) - производная функции g(x).

Теперь найдем производные каждой из функций:

f"(y) = d/dy (√1-y^2).

Теперь найдем производную функции g(x):

g"(x) = d/dx (cos x).

Итак, производная f(g(x)) выражается как:

(f(g(x)))" = f"(g(x)) * g"(x).

Подставим найденные значения производных:

(f(g(x)))" = f"(g(x)) * g"(x) = d/dy (√1-y^2) * d/dx (cos x).

Обратите внимание, что мы не можем продолжать упрощать этот ответ, так как это уже конечный результат.

Демонстрация:
Для примера задачи, используем значение x = π/4.

(f(g(π/4)))" = d/dy (√1-(cos(π/4))^2) * d/dx (cos(π/4)).

Совет:
Упрощайте шаг за шагом выражение, чтобы упростить себе задачу. Также, не забывайте использовать подходящие правила для дифференцирования функций.

Задача для проверки:
Найдите производную f(g(x)) при условии, что f(y) = √1-y^2 и y=g(x) = sin x.