Являются ли неравенства x-7/1+x^2> 0 и (7-x)*(2+x^2)< неравносильными?

Содержание: Неравенства и их эквивалентность

Инструкция: Неравенства - это выражения, в которых присутствуют знаки сравнения, такие как "меньше" (<), "больше" (>), "меньше или равно" (≤) и "больше или равно" (≥). Когда мы говорим о эквивалентности неравенств, это означает, что два неравенства имеют одинаковое множество решений.

Давайте рассмотрим данное нам неравенство: x - 7/(1 + x^2) > 0. Для начала, давайте упростим его.

Мы можем начать с умножения обеих сторон неравенства на (1 + x^2), чтобы избавиться от знаменателя:

(1 + x^2) * (x - 7/(1 + x^2)) > 0

После раскрытия скобок получим:

(x^3 - 7)/(1 + x^2) > 0

Теперь мы можем заметить, что числитель x^3 - 7 может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения x. Знаменатель (1 + x^2) всегда положителен, так как является суммой двух квадратов и не может быть равен нулю.

Таким образом, чтобы вся дробь была положительной, мы должны иметь либо две положительные переменные (числитель и знаменатель), либо две отрицательные переменные.

Получается, что данное неравенство имеет два интервала решений: (-∞, -√7) и (√7, +∞).

Теперь давайте рассмотрим другое неравенство: (7-x)*(2+x^2) < 0. Аналогично, проведем упрощение:

(x - 7)(2 + x^2) < 0

Теперь давайте проанализируем интервалы, где это неравенство может быть истинным:

- Если x < -√7, тогда оба множителя (x - 7) и (2 + x^2) будут отрицательными.
- Если -√7 < x < 7, тогда (x - 7) будет отрицательным, а (2 + x^2) - положительным.
- Если x > 7, тогда оба множителя (x - 7) и (2 + x^2) будут положительными.

Исходя из этого, мы видим, что неравенство (7-x)*(2+x^2) < 0 имеет только один интервал решения: (-√7, 7).

Таким образом, можно сделать вывод, что неравенства x - 7/(1 + x^2) > 0 и (7-x)*(2+x^2) < 0 являются неравносильными, так как у них разные интервалы решений.

Совет: При решении неравенств всегда упрощайте выражения, чтобы лучше понять их свойства и интервалы решений. Не забудьте учитывать знаки множителей и делителей при анализе неравенств.

Дополнительное задание: Решите неравенство 3x^2 - 2x - 1 > 0 и найдите интервалы, где оно истинно.